《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

22. 如下图, 已知 $ AC \perp BC $, $ AD \perp BD $, $ E $ 为 $ AB $ 的中点.
(1) 如图 1, 求证: $ \triangle ECD $ 是等腰三角形;
(2) 如图 2, $ CD $ 与 $ AB $ 交于点 $ F $, 若 $ AD = BD $, $ EF = 3 $, $ DE = 4 $, 求 $ CD $ 的长.

答案：

(1) 证明: $\because AC \perp BC$, $AD \perp BD$,
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle ADB = 90^{\circ}$,
又 $\because E$ 为 $AB$ 的中点, $\therefore CE = \frac{1}{2}AB$, $DE = \frac{1}{2}AB$,
$\therefore CE = DE$, 即 $\triangle ECD$ 是等腰三角形.
(2) 解: $\because AD = BD$, $E$ 为 $AB$ 的中点, $\therefore DE \perp AB$,
已知 $DE = 4$, $EF = 3$, $\therefore DF = 5$,
过点 $E$ 作 $EH \perp CD$ 于点 $H$, 如下图,
$\because \angle FED = 90^{\circ}$, $EH \perp DF$,
$\therefore EH = \frac{EF \cdot ED}{DF} = \frac{12}{5}$,
$\therefore DH = \sqrt{DE^{2} - EH^{2}} = \frac{16}{5}$,
$\because \triangle ECD$ 是等腰三角形,
$\therefore CD = 2DH = \frac{32}{5}$.

23. 如下图, 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle A = 60^{\circ} $, $ AB = 12 \, \text{cm} $, 若点 $ P $ 从点 $ B $ 以 $ 2 \, \text{cm/s} $ 的速度向点 $ A $ 运动, 点 $ Q $ 从点 $ A $ 出发以 $ 1 \, \text{cm/s} $ 的速度向点 $ C $ 运动, $ P $, $ Q $ 同时出发, 设运动的时间为 $ t \, \text{s} $.
(1) 用含 $ t $ 的式子表示线段 $ AP $, $ AQ $ 的长;
(2) 当 $ t $ 为何值时, $ \triangle APQ $ 是以 $ PQ $ 为底边的等腰三角形?
(3) 当 $ t $ 为何值时, $ PQ // BC $?

答案： 1. （1）
已知$AB = 12\mathrm{cm}$，点$P$从点$B$以$2\mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动，运动时间为$t\mathrm{s}$，则$BP = 2t\mathrm{cm}$。
根据$AP=AB - BP$，可得$AP=(12 - 2t)\mathrm{cm}$。
又因为点$Q$从点$A$出发以$1\mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动，运动时间为$t\mathrm{s}$，所以$AQ=t\mathrm{cm}$。
2. （2）
当$\triangle APQ$是以$PQ$为底边的等腰三角形时，$AP = AQ$。
由（1）知$AP = 12-2t$，$AQ = t$，则$12-2t=t$。
移项可得$2t + t=12$，即$3t = 12$。
解得$t = 4$。
3. （3）
在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle B=30^{\circ}$，所以$AC=\frac{1}{2}AB$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半），因为$AB = 12\mathrm{cm}$，所以$AC = 6\mathrm{cm}$。
若$PQ// BC$，则$\angle AQP=\angle C = 90^{\circ}$，$\angle APQ=\angle B = 30^{\circ}$。
此时$AQ=\frac{1}{2}AP$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
由（1）知$AP = 12-2t$，$AQ = t$，则$t=\frac{1}{2}(12 - 2t)$。
去括号得$t = 6 - t$。
移项得$t+t=6$，即$2t = 6$。
解得$t = 3$。
综上，（1）$AP=(12 - 2t)\mathrm{cm}$，$AQ=t\mathrm{cm}$；（2）$t = 4$；（3）$t = 3$。