《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

知识清单
1. 平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 平行四边形的性质
(1) 平行四边形的对边平行且相等,对角相等、邻角互补,对角线互相平分.
(2) 平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点.
3. 平行四边形的判定
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.

答案： 1.平行
2.
(1)平行且相等　互相平分
3.
(2)相等　
(3)平行且相等　
(4)互相平分

例1 如下图,在$□ ABCD$中,$E为BC$上一点,$DE平分\angle ADC$,$AD = 8$,$BE = 3$,则$□ ABCD$的周长是(C)

A.16
B.14
C.26
D.24

答案： C

例2 下列能判别四边形$ABCD$是平行四边形的是(B)
A.$AB// CD$,$AD = BC$
B.$AB = CD$,$AD = BC$
C.$\angle A = \angle B$,$\angle C = \angle D$
D.$AB = AD$,$CB = CD$

答案： B

例3 如下图,在$□ ABCD$中,$\angle ABC的平分线与CD的延长线交于点E$,与$AD交于点F$,且点$F恰好为边AD$的中点,连接$AE$.
(1) 求证：四边形$ABDE$是平行四边形；
(2) 若$AG\perp BE于点G$,$BC = 6$,$AG = 2$,求$EF$的长.
【思路点拨】(1) 根据平行四边形的性质得到$AB// CD$,求得$\angle ABE = \angle BEC$,根据$\triangle ABF\cong\triangle DEF$得到结论；(2) 根据平行四边形的性质得到$AD// CB$,求得$\angle AFB = \angle CBF$,推出$\angle AFB = \angle ABF$,得到$AF = AB$,根据勾股定理即可得到结论.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，即$AB// DE$。
所以$\angle ABE=\angle BEC$（两直线平行，内错角相等）。
因为$F$为$AD$中点，所以$AF = DF$。
又因为$\angle AFB=\angle DFE$（对顶角相等）。
在$\triangle ABF$和$\triangle DEF$中：
$\begin{cases}\angle ABE=\angle BEC\\\angle AFB=\angle DFE\\AF = DF\end{cases}$
所以$\triangle ABF\cong\triangle DEF(AAS)$。
所以$AB = DE$。
又因为$AB// DE$，根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），所以四边形$ABDE$是平行四边形。
2. （2）解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// CB$。
所以$\angle AFB=\angle CBF$（两直线平行，内错角相等）。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABF=\angle CBF$。
所以$\angle AFB=\angle ABF$，则$AF = AB$。
因为$F$是$AD$中点，$AD = BC = 6$，所以$AF = DF=\frac{1}{2}AD = 3$，所以$AB = AF = 3$。
因为$AG\perp BE$，$AG = 2$，在$Rt\triangle ABG$中，根据勾股定理$BG=\sqrt{AB^{2}-AG^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$。
因为$\triangle ABF\cong\triangle DEF$，所以$BF = EF$。
又因为$AF = AB$，$AG\perp BE$，所以$BG = FG=\sqrt{5}$（等腰三角形三线合一）。
所以$BF = 2\sqrt{5}$，则$EF = 2\sqrt{5}$。
综上，（1）得证；（2）$EF$的长为$2\sqrt{5}$。