《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例4 为了响应“倡导绿色出行、从身边做起”,小李将上班方式由自驾车改为骑共享单车. 他从家到达上班地点,自驾车要走的路程为8.4km,骑共享单车要走的路程为6km,已知小李自驾车的速度是骑共享单车速度的2.4倍,他由自驾车改为骑共享单车后,时间多用了10min. 小李自驾车和骑共享单车的速度分别是多少？
【思路点拨】设骑共享单车速度为$x$km/min,则自驾车的速度是$2.4x$km/min,根据“骑共享单车时间 - 自驾车时间 = 10min”列分式方程求解可得.

答案： 解:设骑共享单车的速度为$x$km/h,则自驾车的速度是$2.4x$km/h,
根据题意,得$\frac{6}{x}-\frac{8.4}{2.4x}=\frac{1}{6}$,解得$x = 15$,
经检验,$x = 15$是分式方程的解,
则$2.4x = 2.4×15 = 36$,
答:小李自驾车的速度为36km/h,骑共享单车的速度为15km/h.

1. 解分式方程：
(1)$\frac{x}{x - 2}+\frac{6}{x + 2}= 1$；
(2)$\frac{y}{y - 2}-\frac{8}{y^{2}-4}= 1$.

答案：
(1)解：方程两边同乘$(x - 2)(x + 2)$，得$x(x + 2) + 6(x - 2) = (x - 2)(x + 2)$
展开得$x^2 + 2x + 6x - 12 = x^2 - 4$
移项合并同类项得$8x = 8$
解得$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x - 2)(x + 2) = (1 - 2)(1 + 2) = -3 ≠ 0$
所以$x = 1$是原方程的解
(2)解：方程两边同乘$(y - 2)(y + 2)$，得$y(y + 2) - 8 = (y - 2)(y + 2)$
展开得$y^2 + 2y - 8 = y^2 - 4$
移项合并同类项得$2y = 4$
解得$y = 2$
检验：当$y = 2$时，$(y - 2)(y + 2) = 0$
所以$y = 2$是增根，原方程无解

2. 若关于$x的分式方程\frac{2x - 1}{x - 2}= \frac{m}{x - 2}+1$的解是正数,求$m$的取值范围.

答案： 解：方程两边同乘$x - 2$，得$2x - 1 = m + x - 2$。
解得$x = m - 1$。
因为方程的解是正数，所以$m - 1 ＞ 0$，即$m ＞ 1$。
又因为$x - 2 ≠ 0$，所以$m - 1 - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 3$。
综上，$m$的取值范围是$m ＞ 1$且$m ≠ 3$。

3. 新世纪广场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用8万元购进这种衬衫,面市后果然供不应求,商场又用17.6万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了4元,商场销售这种衬衫时每件定价都是58元,最后剩下的150件按八折销售,很快售完,在这两笔生意中,商场共盈利多少元？

答案： 解:设商场第一次购进$x$件衬衫,则第二次购进$2x$件,
根据题意,得$\frac{80000}{x}=\frac{176000}{2x}-4$,
解这个方程得$x = 2000$.
经检验,$x = 2000$是原方程的根,$\therefore 2x = 4000$.
商场利润:$(2000 + 4000 - 150)×58 + 58×0.8×150 - 80000 - 176000 = 90260$(元).
答:在这两笔生意中,商场共盈利90260元.