《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例4 如下图, $ \triangle ABC $ 是边长为 6 的等边三角形, $ D $ 是 $ BC $ 上一点, $ BD = 2 $, $ DE \perp BC $ 交 $ AB $ 于点 $ E $, 则 $ AE = $____2.

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=6。
∵DE⊥BC，
∴∠EDB=90°，
∴∠BED=90°-∠B=30°。
∵BD=2，∠BED=30°，∠EDB=90°，
∴EB=2BD=4。
∴AE=AB-BE=6-4=2。
答案：2

1. 如下图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ D $ 为 $ AC $ 的中点, 且 $ DE // AB $, $ AF $ 平分 $ \angle CAB $, 交 $ DE $ 于点 $ F $. 若 $ DF = 3 $, 则 $ AC $ 的长为 (C)

A.$ \frac{3}{2} $
B.3
C.6
D.9

答案： C

2. 在如上图所示的正方形网格中, 网格的交点称为格点, 已知 $ A $, $ B $ 是两格点, 如果 $ C $ 也是图中的格点, 且使得 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形, 则符合条件的点 $ C $ 的个数是 (C)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： C

3. 如下图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ D $ 为 $ AC $ 边上一点, 以点 $ A $ 为圆心, $ AD $ 的长为半径画弧, 交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $, 连接 $ ED $. 若 $ \angle C = 50^{\circ} $, $ \angle B = 60^{\circ} $, 则 $ \angle CDE $ 的度数为 (D)

A.$ 130^{\circ} $
B.$ 135^{\circ} $
C.$ 140^{\circ} $
D.145°

答案： D

4. 如上图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $, $ E $ 是 $ \triangle ABC $ 内的两点, $ AD $ 平分 $ \angle BAC $, $ \angle EBC = \angle E = 60^{\circ} $, 若 $ BE = 6 \, \text{cm} $, $ DE = 2 \, \text{cm} $, 则 $ BC $ 的长为 (C)

A.$ 4 \, \text{cm} $
B.$ 6 \, \text{cm} $
C.$ 8 \, \text{cm} $
D.$ 12 \, \text{cm} $

答案： C

5. 如下图, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ AB = BC $, 点 $ E $ 为对角线 $ AC $ 与 $ BD $ 的交点, $ \angle AEB = 70^{\circ} $, 若 $ \angle ABC = 2 \angle ADB = 4 \angle CBD $, 则 $ \angle ACD = $$80^{\circ}$.

答案： $80^{\circ}$

6. 如下图, 等边 $ \triangle ABC $ 中, $ AD = BD $, 过点 $ D $ 作 $ DF \perp AC $ 于点 $ F $, 过点 $ F $ 作 $ FE \perp BC $ 于点 $ E $, 若 $ AF = 6 $, 求线段 $ BE $ 的长.

答案： 解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，AB=AC=BC。
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∠A=60°，AF=6，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF=12（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵AD=BD，
∴AB=AD+BD=12+12=24，
∴AC=BC=AB=24。
∵AC=24，AF=6，
∴FC=AC-AF=24-6=18。
在Rt△FEC中，∠FEC=90°，∠C=60°，FC=18，
∴∠EFC=30°，
∴EC=½FC=9（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵BC=24，EC=9，
∴BE=BC-EC=24-9=15。
答案：15