《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

5. 已知 $ m $ 是方程 $ x^{2}-x - 2 = 0 $ 的一个实数根,求代数式 $ (m^{2}-m)(m-\frac{2}{m}+1) $ 的值。

答案： 解:$\because m$是方程$x^{2}-x - 2 = 0$的一个实数根,
$\therefore m^{2}-m - 2 = 0,\therefore m^{2}-m = 2,m^{2}-2 = m$,
$\therefore (m^{2}-m)(m-\frac {2}{m}+1)=4$.

例 1 用直接开平方法解下列方程：
(1)$ 9x^{2}-16 = 0 $；
(2)$ 2(x - 3)^{2}= 12 $；
(3)$ 4(3x - 1)^{2}-9(3x + 1)^{2}= 0 $。
【思路点拨】(1)题中,方程可化为 $ x^{2}= m(m\geq 0) $ 的形式,进而求解；(2)题中,方程可化为 $ (x - h)^{2}= m(m\geq 0) $ 的形式,得到 $ (x - 3)^{2}= 6 $；(3)可将方程化为 $ 4(3x - 1)^{2}= 9(3x + 1)^{2} $,则有 $ 2(3x - 1)= \pm 3(3x + 1) $。
(1)解：$ x^{2}= \frac{16}{9} $,$ x= \pm\frac{4}{3} $。
(2)解：$ (x - 3)^{2}= 6 $,$ x - 3= \pm\sqrt{6} $,$ x= \pm\sqrt{6}+3 $。
(3)解：$ 2(3x - 1)= \pm 3(3x + 1) $,$ x_{1}= -\frac{5}{3} $,$ x_{2}= -\frac{1}{15} $。

答案： 【解析】：
(1) 对于方程 $9x^{2}-16 = 0$，首先将常数项移到等号右边可得 $9x^{2}=16$，两边同时除以 9，得到 $x^{2}=\frac{16}{9}$。因为一个数的平方等于$\frac{16}{9}$，所以这个数是$\frac{16}{9}$的平方根，即$x = \pm\sqrt{\frac{16}{9}}=\pm\frac{4}{3}$。
(2) 方程 $2(x - 3)^{2}= 12$，两边先同时除以 2，化简为$(x - 3)^{2}=6$。此时方程左边是一个完全平方式，所以$x - 3$是 6 的平方根，即$x - 3=\pm\sqrt{6}$，移项可得$x = 3\pm\sqrt{6}$。
(3) 方程 $4(3x - 1)^{2}-9(3x + 1)^{2}= 0$，先将$-9(3x + 1)^{2}$移到等号右边，得到$4(3x - 1)^{2}=9(3x + 1)^{2}$。两边同时开平方，因为等式两边都是非负数，所以可得$2(3x - 1)=\pm 3(3x + 1)$。
当取正号时：$2(3x - 1)=3(3x + 1)$，展开括号得$6x - 2 = 9x + 3$，移项可得$6x - 9x = 3 + 2$，即$-3x = 5$，解得$x=-\frac{5}{3}$。
当取负号时：$2(3x - 1)=-3(3x + 1)$，展开括号得$6x - 2=-9x - 3$，移项可得$6x + 9x=-3 + 2$，即$15x=-1$，解得$x=-\frac{1}{15}$。
【答案】：
(1)$x=\pm\frac{4}{3}$；
(2)$x=3\pm\sqrt{6}$；
(3)$x_{1}=-\frac{5}{3}$，$x_{2}=-\frac{1}{15}$

例 2 用配方法解下列方程：
(1)$ x^{2}-2x - 5 = 0 $；
(2)$ x^{2}-6x - 9 = 0 $；
(3)$ 4x^{2}+8x + 3 = 0 $；
(4)$ 2x^{2}+x - 1 = 0 $。
【思路点拨】根据配方法的步骤,先利用配方法得到 $ (x + m)^{2}= n $,然后利用直接开平方法解方程。
(1)解：$ x^{2}-2x = 5 $,$ x^{2}-2x + 1 = 6 $,$ (x - 1)^{2}= 6 $,$ x - 1= \pm\sqrt{6} $,$ \therefore x_{1}= 1+\sqrt{6} $,$ x_{2}= 1-\sqrt{6} $。
(2)解：$ x^{2}-6x = 9 $,$ x^{2}-6x + 9 = 18 $,$ (x - 3)^{2}= 18 $,$ x - 3= \pm 3\sqrt{2} $,$ \therefore x_{1}= 3 + 3\sqrt{2} $,$ x_{2}= 3 - 3\sqrt{2} $。
(3)解：$ \because 4x^{2}+8x= -3 $,$ \therefore x^{2}+2x= -\frac{3}{4} $,$ \therefore (x + 1)^{2}= \frac{1}{4} $,$ \therefore x_{1}= -\frac{3}{2} $,$ x_{2}= -\frac{1}{2} $。
(4)解：$ \because x^{2}+\frac{1}{2}x= \frac{1}{2} $,$ \therefore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}= \frac{9}{16} $,$ \therefore (x+\frac{1}{4})^{2}= \frac{9}{16} $,$ \therefore x_{1}= -1 $,$ x_{2}= \frac{1}{2} $。

答案： 【解析】：
(1) 首先将常数项移到等号右边，得到$x^{2}-2x = 5$。然后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-2}{2})^{2}=1$，可得$x^{2}-2x + 1 = 5 + 1$，化简为$(x - 1)^{2}=6$。再利用直接开平方法，$x - 1=\pm\sqrt{6}$，解得$x_{1}=1+\sqrt{6}$，$x_{2}=1-\sqrt{6}$。
(2) 先把常数项移到等号右边，$x^{2}-6x = 9$。接着在等式两边加上一次项系数一半的平方$(\frac{-6}{2})^{2}=9$，得到$x^{2}-6x + 9 = 9 + 9$，即$(x - 3)^{2}=18$。直接开平方可得$x - 3=\pm 3\sqrt{2}$，解得$x_{1}=3 + 3\sqrt{2}$，$x_{2}=3 - 3\sqrt{2}$。
(3) 先将二次项系数化为1，方程两边同时除以4，得$x^{2}+2x=-\frac{3}{4}$。然后在等式两边加上一次项系数一半的平方$(\frac{2}{2})^{2}=1$，即$x^{2}+2x + 1=-\frac{3}{4}+1$，化简为$(x + 1)^{2}=\frac{1}{4}$。开平方得$x + 1=\pm\frac{1}{2}$，解得$x_{1}=-\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$。
(4) 先把二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$。再在等式两边加上一次项系数一半的平方$(\frac{\frac{1}{2}}{2})^{2}=(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{16}$，可得$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$，即$(x+\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$。开平方得$x+\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{16}$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】：
(1)$x_{1}=1+\sqrt{6}$，$x_{2}=1-\sqrt{6}$；
(2)$x_{1}=3 + 3\sqrt{2}$，$x_{2}=3 - 3\sqrt{2}$；
(3)$x_{1}=-\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$；
(4)$x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$