《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例 1 若关于 x 的不等式$3x+a≤2$只有 2 个正整数解,则实数 a 的取值范围为(D)
A.$-7＜a＜-4$
B.$-7≤a≤-4$
C.$-7≤a＜-4$
D.$-7＜a≤-4$

答案： D

1. 若$(m+3)x＞2m+6的解集为x＞2$,则 m 的取值范围是$m＞-3$.

答案： 解：原不等式可化为$(m + 3)x ＞ 2(m + 3)$。
因为不等式的解集为$x ＞ 2$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，所以$m + 3 ＞ 0$，解得$m ＞ -3$。
故$m$的取值范围是$m ＞ -3$。

2. 如果不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-5≥1+2x,\\ 3m+2≤4x\end{array} \right.$有解,那么 m 的取值范围是____$m \leq -\frac{26}{3}$.

答案： 解：解不等式$x - 5 \geq 1 + 2x$，
$x - 2x \geq 1 + 5$，
$-x \geq 6$，
$x \leq -6$。
解不等式$3m + 2 \leq 4x$，
$x \geq \frac{3m + 2}{4}$。
因为不等式组有解，所以$\frac{3m + 2}{4} \leq -6$，
$3m + 2 \leq -24$，
$3m \leq -26$，
$m \leq -\frac{26}{3}$。
故答案为：$m \leq -\frac{26}{3}$

3. 从-3,-2,-1,0,1,2,3 这 7 个数中随机抽取一个数记为 a,则使关于 x 的不等式组$\left\{\begin{array}{l}-x-1≤2a,\\ 2x-4≤2a\end{array} \right.$有解,且使关于 x 的一元一次方程$\frac{3x-a}{2}+1= \frac{2x+a}{3}$的解为负数的概率为$\frac{3}{7}$.

答案： 解：解不等式组$\left\{\begin{array}{l}-x - 1 \leq 2a\\2x - 4 \leq 2a\end{array}\right.$
解$-x - 1 \leq 2a$得$x \geq -2a - 1$
解$2x - 4 \leq 2a$得$x \leq a + 2$
不等式组有解，则$-2a - 1 \leq a + 2$，解得$a \geq -1$
解方程$\frac{3x - a}{2} + 1 = \frac{2x + a}{3}$
两边同乘6得：$3(3x - a) + 6 = 2(2x + a)$
$9x - 3a + 6 = 4x + 2a$
$5x = 5a - 6$
$x = a - \frac{6}{5}$
解为负数，即$a - \frac{6}{5} ＜ 0$，解得$a ＜ \frac{6}{5}$
综上，$-1 \leq a ＜ \frac{6}{5}$，满足条件的$a$为$-1, 0, 1$，共3个
总共有7个数，概率为$\frac{3}{7}$
$\frac{3}{7}$

4. 是否存在实数 x,使得$5x+3＞3(x-1)且x-2＜14-3x$? 试确定 x 的取值范围.

答案： 解：解不等式$5x + 3 ＞ 3(x - 1)$，
$5x + 3 ＞ 3x - 3$，
$5x - 3x ＞ -3 - 3$，
$2x ＞ -6$，
$x ＞ -3$；
解不等式$x - 2 ＜ 14 - 3x$，
$x + 3x ＜ 14 + 2$，
$4x ＜ 16$，
$x ＜ 4$；
所以$x$的取值范围是$-3 ＜ x ＜ 4$。

5. 若不等式$3(x-1)≤mx^2+nx-3$是关于 x 的一元一次不等式,求 m,n 的取值范围.

答案： 解：将不等式$3(x - 1) \leq mx^2 + nx - 3$化简，得$3x - 3 \leq mx^2 + nx - 3$，移项整理后为$mx^2 + (n - 3)x \geq 0$。
因为该不等式是关于$x$的一元一次不等式，所以二次项系数必须为$0$，且一次项系数不能为$0$。
即$m = 0$，且$n - 3 \neq 0$，解得$n \neq 3$。
综上，$m = 0$，$n \neq 3$。

6. 若不等式$\left\{\begin{array}{l}2x+3＜1,\\ x＞\frac{1}{2}(x-3)\end{array} \right.$的整数解也是关于 x 的方程$2x-4= ax$的解,求 a 的值.

答案： 解：解不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x + 3 ＜ 1\\x ＞ \frac{1}{2}(x - 3)\end{array}\right.$
解$2x + 3 ＜ 1$，得$2x ＜ -2$，$x ＜ -1$
解$x ＞ \frac{1}{2}(x - 3)$，得$2x ＞ x - 3$，$x ＞ -3$
所以不等式组的解集为$-3 ＜ x ＜ -1$，整数解为$x = -2$
将$x = -2$代入方程$2x - 4 = ax$，得$2×(-2) - 4 = -2a$
即$-4 - 4 = -2a$，$-8 = -2a$，解得$a = 4$
$a = 4$