《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例1 $x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}+3x+1= 0$的两根,利用根与系数的关系,求下列各式子的值：
(1)$\frac {x_{1}}{x_{2}}+\frac {x_{2}}{x_{1}}$；
(2)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$；
(3)$(x_{1}-2)(x_{2}-2)$；
(4)$|x_{1}-x_{2}|$；
(5)$x_{1}^{3}+8x_{2}+20$。
【思路点拨】由题意,利用一元二次方程根与系数的关系,可得$x_{1}+x_{2}与x_{1}x_{2}$的值,再根据一元二次方程的根与系数的关系的常用转化关系求解。其中(5)题需要利用根的定义,转化为两根之和进行计算。
解：$\because x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}+3x+1= 0$的两根,
$\therefore x_{1}+x_{2}= -3$,$x_{1}x_{2}= 1$,$x_{1}^{2}+3x_{1}+1= 0$,
(1)$\frac {x_{1}}{x_{2}}+\frac {x_{2}}{x_{1}}= \frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}= \frac {(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}= \frac {(-3)^{2}-2}{1}= 7$。
(2)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}= x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})= -3×1= -3$。
(3)$(x_{1}-2)(x_{2}-2)= x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4= 1-2×(-3)+4= 11$。
(4)$|x_{1}-x_{2}|= \sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}}= \sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}= \sqrt {(-3)^{2}-4}= \sqrt {5}$。
(5)$\because x_{1}^{2}+3x_{1}+1= 0$,
$\therefore x_{1}^{2}= -3x_{1}-1$,
$\therefore x_{1}^{3}+8x_{2}+20= x_{1}(-3x_{1}-1)+8x_{2}+20= -3x_{1}^{2}-x_{1}+8x_{2}+20= -3(-3x_{1}-1)-x_{1}+8x_{2}+20= 8(x_{1}+x_{2})+23= 8×(-3)+23= -1$。

答案： 【解析】：
(1) 利用平方和公式，我们有
$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}$
进一步利用平方差公式，可以得到
$= \frac{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
代入 $x_{1} + x_{2} = -3$ 和 $x_{1}x_{2} = 1$，得到
$= \frac{(-3)^{2} - 2 × 1}{1} = 7$
(2) 直接代入 $x_{1} + x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 的值，得到
$x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{2} = x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2}) = 1 × (-3) = -3$
(3) 展开并代入 $x_{1} + x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 的值，得到
$(x_{1} - 2)(x_{2} - 2) = x_{1}x_{2} - 2(x_{1} + x_{2}) + 4 = 1 - 2 × (-3) + 4 = 11$
(4) 利用平方差公式，我们有
$|x_{1} - x_{2}| = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2}} = \sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}}$
代入 $x_{1} + x_{2} = -3$ 和 $x_{1}x_{2} = 1$，得到
$= \sqrt{(-3)^{2} - 4 × 1} = \sqrt{5}$
(5) 利用方程 $x_{1}^{2} + 3x_{1} + 1 = 0$，我们可以得到
$x_{1}^{2} = -3x_{1} - 1$
进一步代入并化简，得到
$x_{1}^{3} + 8x_{2} + 20 = x_{1}(-3x_{1} - 1) + 8x_{2} + 20$
$= -3x_{1}^{2} - x_{1} + 8x_{2} + 20$
$= -3(-3x_{1} - 1) - x_{1} + 8x_{2} + 20$
$= 8(x_{1} + x_{2}) + 23$
代入 $x_{1} + x_{2} = -3$，得到
$= 8 × (-3) + 23 = -1$
【答案】：
(1) 7
(2) -3
(3) 11
(4) $\sqrt{5}$
(5) -1

1. 下列一元二次方程中,两根之和为2的是 (D)
A.$x^{2}-x+2= 0$
B.$x^{2}-2x+2= 0$
C.$x^{2}-x-2= 0$
D.$2x^{2}-4x+1= 0$

答案： D

2. 若一元二次方程$5x-1= 4x^{2}$的两根为$x_{1}$和$x_{2}$,则$x_{1}\cdot x_{2}$的值等于 (B)
A.1
B.$\frac {1}{4}$
C.$-\frac {1}{4}$
D.$\frac {5}{4}$

答案： B

3. 若$x_{1}$,$x_{2}是一元二次方程5x^{2}+x-5= 0$的两根,则$x_{1}+x_{2}$的值是 (B)
A.$\frac {1}{5}$
B.$-\frac {1}{5}$
C.1
D.-1

答案： B

4. 已知$m$,$n是方程x^{2}+x-1= 0$的根,则式子$m^{2}+2m+n-mn= $1。

答案： 1