《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

知识清单
1. 直角三角形的性质
(1) 直角三角形的两个锐角互余.
(2) 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
2. 直角三角形的判定
(1) 有两个角互余的三角形是直角三角形.
(2) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.

答案： 1.
(2) 斜边的平方 2.
(2) 直角三角形

例1 某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为 $ 2 \, \text{m} $ 的地毯, 台阶的侧面如下图所示, 如果这种地毯每平方米售价为 80 元, 则购买这种地毯至少需要 (C)

A.2560 元
B.2620 元
C.2720 元
D.2840 元

答案： C

例2 已知在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle B = 2 \angle A $, $ BC = 1 $, 则 $ AB = $____2.

答案： 解：在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，
$\therefore \angle A + \angle B = 90^{\circ}$，
$\because \angle B = 2\angle A$，
$\therefore \angle A + 2\angle A = 90^{\circ}$，
解得$\angle A = 30^{\circ}$，
$\because$在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，且$BC$为$\angle A$所对的直角边，$AB$为斜边，
$\therefore AB = 2BC$，
$\because BC = 1$，
$\therefore AB = 2×1 = 2$。
答案为:2

1. 如下图, $ \angle A = \angle D = 90^{\circ} $, 再添加一个条件$AB = CD$ (或 $AC = BD$), 即可使 $ \text{Rt} \triangle ABC \cong \text{Rt} \triangle DCB $, 理由是HL.

答案： $AB = CD$ (或 $AC = BD$) HL

2. 如上图, 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AD $ 平分 $ \angle CAB $, 交 $ BC $ 于点 $ D $, $ BE \perp AD $, 交 $ AD $ 的延长线于点 $ E $, 若 $ \angle DBE = 25^{\circ} $, 则 $ \angle CAB = $$50^{\circ}$.

答案： $50^{\circ}$

3. 如右图, 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ \angle A = 48^{\circ} $, 将其折叠, $ E $ 是点 $ A $ 落在边 $ BC $ 上的对应点, 折痕为 $ CD $, 则 $ \angle EDB $ 的度数为____$6^{\circ}$.

答案： $6^{\circ}$

4. 如下图, 已知四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle A $ 为直角, $ AB = 16 $, $ BC = 25 $, $ CD = 15 $, $ AD = 12 $, 求四边形 $ ABCD $ 的面积.

答案： 解：连接BD。
在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=16，AD=12，
由勾股定理得：BD²=AB²+AD²=16²+12²=256+144=400，
则BD=20。
在△BCD中，BC=25，CD=15，BD=20，
因为15²+20²=225+400=625=25²，即CD²+BD²=BC²，
所以△BCD是直角三角形，∠BDC=90°。
S△ABD=1/2×AB×AD=1/2×16×12=96，
S△BCD=1/2×CD×BD=1/2×15×20=150，
四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=96+150=246。
答：四边形ABCD的面积为246。