《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

15. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点,分别过点O,E作$ON\perp AB$,$EM\perp AB$,垂足分别为N,M.
(1)求证：四边形OEMN是矩形；
(2)若$AB= 5$,$ON= 2$,求AN的长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，即$\angle AOB = 90^{\circ}$。
又因为$ON\perp AB$，$EM\perp AB$，所以$\angle ONM=\angle EMN = 90^{\circ}$。
由于$E$是$BC$的中点，$O$是$AC$中点（菱形对角线互相平分），所以$OE// AB$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边）。
则$\angle NOE+\angle ONM = 180^{\circ}$，因为$\angle ONM = 90^{\circ}$，所以$\angle NOE = 90^{\circ}$。
在四边形$OEMN$中，$\angle ONM=\angle NME=\angle NOE = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形），所以四边形$OEMN$是矩形。
2. （2）解：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AO = OC$，$BO = OD$，$AC\perp BD$，$AB = BC = 5$。
因为$E$是$BC$中点，$OE// AB$，所以$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$（三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半）。
因为四边形$OEMN$是矩形，所以$MN = OE=\frac{5}{2}$。
在$Rt\triangle AON$中，根据勾股定理$AN=\sqrt{AO^{2}-ON^{2}}$。
设$AN = x$，则$BN=5 - x$。
因为$\triangle AON\sim\triangle ABO$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle OAN=\angle BAO$，$\angle ANO=\angle AOB = 90^{\circ}$），所以$\frac{AN}{AO}=\frac{AO}{AB}$，即$AO^{2}=AN\cdot AB$。
又在$Rt\triangle AON$中，$AO^{2}=AN^{2}+ON^{2}$，所以$AN\cdot AB=AN^{2}+ON^{2}$。
把$AB = 5$，$ON = 2$代入$5x=x^{2}+4$。
即$x^{2}-5x + 4 = 0$，分解因式得$(x - 1)(x - 4)=0$。
解得$x = 1$或$x = 4(舍去)$。
所以$AN$的长为$1$。

16. 在物理学中,速度具有大小和方向.如图1,点O受到两个速度$v_{1}$,$v_{2}$的影响,大小方向用有向线段OA,OB表示,以线段OA,OB为邻边作平行四边形,则对角线OC的大小和方向表示合速度(即实际速度)v的大小和方向,这种方法称为平行四边形法则.利用平行四边形法则解决下列问题.
(1)如图2,小船朝着垂直于河岸的方向航行,已知小河的水流速度为3km/h,小船在静水中的航行速度也为3km/h.根据平行四边形法则,小船实际航行的方向为______,实际速度为______km/h；
(2)已知小河的水流速度仍为3km/h,如图3,若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向,大小为3km/h,则小船应该朝哪个方向航行？速度大小是多少？

答案：

(1) 北偏东 $ 45 ^ { \circ } $；$ 3 \sqrt { 2 } $
(2) 解：作平行四边形 $ G M N H $ 如图，根据题意，得 $ G M = 3 $，$ G N = 3 \sqrt { 3 } $，$ \angle N G M = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore M N = \sqrt { ( 3 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = 6 $，$ \therefore \angle G N M = 30 ^ { \circ } $，
根据平行四边形法则，$ G H // N M $，$ G H = N M $，
$ \therefore \angle N G H = \angle G N M = 30 ^ { \circ } $，
故小船应朝北偏西 $ 30 ^ { \circ } $ 方向航行，速度为 $ 6 \mathrm { km } / \mathrm { h } $.