《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

19. 求证：不论 $ m $ 为何值,关于 $ x $ 的方程 $ (m^{2}+2m + 2)x^{2}-(4m - 1)x - 7 = 0 $ 总为一元二次方程。

答案： 证明:$\because m^{2}+2m + 2=(m + 1)^{2}+1$,
$\therefore m^{2}+2m + 2≥1$,
故关于$x$的方程$(m^{2}+2m + 2)x^{2}-(4m - 1)x - 7 = 0$总为一元二次方程.

20. 已知 $ a,b,c $ 均为实数,且 $ \sqrt{a - 2}+|b + 1|+(c + 3)^{2}= 0 $,求关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的根。

答案： 解:由题意知,$\left\{\begin{array}{l} a - 2 = 0,\\ b + 1 = 0,\\ c + 3 = 0,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b = -1,\\ c = -3,\end{array}\right.$
所以方程为$2x^{2}-x - 3 = 0$,
$\therefore (x + 1)(2x - 3)=0$,则$x + 1 = 0$或$2x - 3 = 0$,
解得$x_{1}=-1,x_{2}=\frac {3}{2}$.

21. 已知：$ a^{2}+b^{2}-4a + 8b + 20 = 0 $,求：$ (a + 1)\cdot(a^{2}+1)(a^{4}+1)(a^{8}+1)-(\frac{1}{16})^{b} $ 的值。

答案： 解:已知等式整理,得$(a^{2}-4a + 4)+(b^{2}+8b + 16)=0$,
即$(a - 2)^{2}+(b + 4)^{2}=0,\therefore a - 2 = 0,b + 4 = 0$,
解得$a = 2,b=-4$,可得$a - 1 = 2 - 1 = 1$,
则原式$=(a - 1)(a + 1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)(a^{8}+1)-(\frac {1}{16})^{b}=a^{16}-1-(\frac {1}{16})^{b}$,
当$a = 2,b=-4$时,原式$=2^{16}-1-(\frac {1}{16})^{-4}=-1$.

22. (1)已知：$ a(a + 1)-(a^{2}+b)= 3 $,$ a(a + b)+b(b - a)= 13 $,求代数式 $ ab $ 的值。
(2)已知等腰 $ \triangle ABC $ 的两边分别为 $ a,b $,且 $ a,b $ 满足 $ a^{2}+b^{2}-6a - 14b + 58 = 0 $,求 $ \triangle ABC $ 的周长。

答案： $(1)$求代数式$ab$的值
解：
- 首先对$a(a + 1)-(a^{2}+b)=3$进行化简：
根据单项式乘多项式法则$m(n + p)=mn+mp$展开式子得$a^{2}+a - a^{2}-b = 3$，
合并同类项后可得$a - b=3$，即$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=9$ $\boldsymbol{(①)}$。
- 然后对$a(a + b)+b(b - a)=13$进行化简：
展开式子得$a^{2}+ab + b^{2}-ab = 13$，
合并同类项后可得$a^{2}+b^{2}=13$ $\boldsymbol{(②)}$。
- 最后求$ab$的值：
把$\boldsymbol{(②)}$代入$\boldsymbol{(①)}$得：$13-2ab = 9$，
移项可得$-2ab=9 - 13$，
即$-2ab=-4$，
两边同时除以$-2$，解得$ab = 2$。
$(2)$求$\triangle ABC$的周长
解：
- 首先对$a^{2}+b^{2}-6a - 14b + 58 = 0$进行变形：
根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，将式子配方可得$(a^{2}-6a + 9)+(b^{2}-14b + 49)=0$，
即$(a - 3)^{2}+(b - 7)^{2}=0$。
因为一个数的平方是非负的，要使两个非负数的和为$0$，则$(a - 3)^{2}=0$且$(b - 7)^{2}=0$。
解得$a = 3$，$b = 7$。
- 然后分情况讨论等腰$\triangle ABC$的周长：
当$a$为腰长时，三边为$3$，$3$，$7$。
因为$3 + 3\lt7$，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），所以这种情况不成立。
当$b$为腰长时，三边为$3$，$7$，$7$。
此时$3+7\gt7$，$7 + 7\gt3$，满足三角形三边关系。
所以周长为$3 + 7+7=17$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{ab = 2}$；$(2)$$\triangle ABC$的周长为$\boldsymbol{17}$。