《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

21. 如下图,在平行四边形$ABCD$中,按下列步骤作图：
①以点$B$为圆心,以适当长为半径作弧,交$AB于点N$,交$BC于点M$；
②再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧交于点$G$；
③作射线$BG$,交$AD于点F$；
④过点$A作AE\perp BF$,垂足为$P$,交$BC于点E$；
⑤连接$EF$,$PD$.
(1) 求证：四边形$ABEF$是菱形；
(2) 若$AB = 8$,$AD = 10$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,求$DP$的长.

答案：

(1)证明: 由作图知BA = BE, ∠ABF = ∠EBF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠EBF = ∠AFB,
∴∠ABF = ∠AFB,
∴AB = AF = BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
又
∵AB = BE,
∴四边形ABEF是菱形.
(2)解: 过点P作PH⊥AD于点H, 如下图,

∵四边形ABEF是菱形, ∠ABC = 60°, AB = 8,
∴AB = AF = 8, ∠ABF = ∠AFB = 30°, AP⊥BF,
∴AP = $\frac{1}{2}$AB = 4,
∴PH = 2$\sqrt{3}$, DH = 8,
∴DP = $\sqrt{PH² + DH²}$ = $\sqrt{12 + 64}$ = 2$\sqrt{19}$.

22. 如下图所示,在菱形$ABCD$中,$AB = 4$,$\angle BAD = 120^{\circ}$,$\triangle AEF$为正三角形,点$E$,$F分别在菱形的边BC$,$CD$上滑动,且$E$,$F不与B$,$C$,$D$重合.
(1) 求证：不论点$E$,$F在BC$,$CD$上如何滑动,总有$BE = CF$；
(2) 当点$E$,$F在BC$,$CD$上滑动时,分别探讨四边形$AECF的面积和\triangle CEF$的周长是否发生变化？如果不变,求出这个定值；如果变化,求出最小值.

答案：

(1)证明: 如下图, 连接AC,
∵四边形ABCD为菱形,
∠BAD = 120°,

∴∠BAC = 60°,
∵△AEF是等边三角形,
∴∠EAF = 60°,
∴∠BAE + ∠EAC = 60°, ∠CAF + ∠EAC = 60°,
∴∠BAE = ∠CAF,
∵∠BAD = 120°,
∴∠ABC = 60°,
∴△ABC和△ACD为等边三角形,
∴∠ACD = 60°, AC = AB,
∴在△ABE和△ACF中,
{∠BAE = ∠CAF,
AB = AC,
∠ABE = ∠ACF,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE = CF.
(2)解: 四边形AECF的面积不变, △CEF的周长发生变化, 理由如下:
由
(1)得△ABE≌△ACF, 则S△ABE = S△ACF,
故S四边形AECF = S△AEC + S△ACF = S△AEC + S△ABE = S△ABC, 是定值, 过点A作AH⊥BC于点H, 则BH = 2,
∴S四边形AECF = S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AH = $\frac{1}{2}$BC·$\sqrt{AB² - BH²}$ = 4$\sqrt{3}$.
△CEF的周长 = CE + CF + EF = CE + BE + EF = BC + EF = BC + AE.
由“垂线段最短”可知: 当正三角形AEF的边AE与BC垂直时, 边AE最短.
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化, 且当AE最短时, △CEF的周长会最小 = 4 + $\sqrt{AB² - BH²}$ = 4 + 2$\sqrt{3}$.