《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例1 方程$(2+\sqrt {3})x^{2}-2x+2-\sqrt {3}= 0$的根的情况是 ( B )

A.有两个不相等的实根
B.有两个相等的实根
C.无实根
D.无法确定

答案： 【解析】：对于方程$(2 + \sqrt{3})x^2 - 2x + 2 - \sqrt{3} = 0$，其中$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = -2$，$c = 2 - \sqrt{3}$。根据根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，可得：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2)^2 - 4×(2 + \sqrt{3})×(2 - \sqrt{3})\\&=4 - 4×[(2)^2 - (\sqrt{3})^2]\\&=4 - 4×(4 - 3)\\&=4 - 4×1\\&=4 - 4\\&=0\end{aligned}$
因为$\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实根。
【答案】：B

例2 关于$x的方程mx^{2}+2(m+1)x+m= 0$有实根,求$m$的取值范围。
【思路点拨】该题没有一元二次方程的条件,故分$m≠0和m= 0$分别求解即可。
解：当$m≠0$时,∵关于$x的方程mx^{2}+2(m+1)x+m= 0$有实根,
$\therefore \Delta =4(m+1)^{2}-4m^{2}≥0$,
解得$m≥-\frac {1}{2}$；
当$m= 0$时,方程为$2x= 0$,解得$x= 0$；
综上,$m的取值范围是m≥-\frac {1}{2}$。

答案： 【解析】：
该题没有明确说明方程为一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：
当$m \neq 0$时，方程$mx^{2}+2(m+1)x+m= 0$为一元二次方程，其有实根的条件是判别式$\Delta \geq 0$。
计算判别式$\Delta = 4(m+1)^{2} - 4m^{2}$，化简得$\Delta = 8m + 4$。
解不等式$8m + 4 \geq 0$，得到$m \geq -\frac{1}{2}$。
当$m = 0$时，方程退化为$2x = 0$，这是一个一元一次方程，显然有实根$x = 0$。
综合以上两种情况，得出$m$的取值范围是$m \geq -\frac{1}{2}$。
【答案】：$m \geq -\frac{1}{2}$

1. 不解方程,一元二次方程$2x^{2}+3x-4= 0$的根的情况是 (C)
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： C

2. 已知一元二次方程$kx^{2}+(2k-1)x+k= 0$有两个实数根,求$k$的最大整数值。

答案： 解：根据题意知$(2k - 1)^2 - 4k×k≥0$且$k≠0$，
解得$k≤\frac{1}{4}$且$k≠0$，
故最大的整数$k = -1$。

3. 已知关于$x的方程x^{2}+(k+1)x+k-2= 0$。
(1) 求证：不论$k$取何实数,此方程都有两个不相等的实数根；
(2) 若此方程的一个根为$-3$,求$k$的值。

答案：
(1) 证明：$b^2 - 4ac = (k + 1)^2 - 4(k - 2)$
$= k^2 - 2k + 9 = (k - 1)^2 + 8$，
∵$(k - 1)^2≥0$，
∴$(k - 1)^2 + 8＞0$，即$b^2 - 4ac＞0$，
∴不论$k$取何值，方程必有两个不相等的实数根。
(2) 解：将$x = -3$代入原方程，得$9 - 3(k + 1) + k - 2 = 0$，
解得$k = 2$。