《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例 1 用因式分解法解一元二次方程：
(1)$ 2x^{2}+5x = 0 $；
(2)$ 7x(3 - x)= 4(x - 3) $；
(3)$ 4(x - 3)^{2}-25(x - 2)^{2}= 0 $；
(4)$ (x - 1)(x + 3)= 5 $。
【思路点拨】(1)通过提公因式可以分解因式；(2)通过变形可以提取公因式；(3)可以用平方差公式分解因式；(4)先化为一般形式,尝试用十字相乘法分解因式。
(1)解：原方程可变形为 $ x(2x + 5)= 0 $,$ \therefore x = 0 $ 或 $ 2x + 5 = 0 $,$ \therefore x_{1}= 0 $,$ x_{2}= -\frac{5}{2} $。
(2)解：原方程变形为 $ (3 - x)(7x + 4)= 0 $,$ \therefore 3 - x = 0 $ 或 $ 7x + 4 = 0 $,$ \therefore x_{1}= 3 $,$ x_{2}= -\frac{4}{7} $。
(3)解：原方程可变形为 $ [2(x - 3)+5(x - 2)][2(x - 3)-5(x - 2)]= 0 $,整理,得 $ (7x - 16)(-3x + 4)= 0 $,$ \therefore 7x - 16 = 0 $ 或 $ -3x + 4 = 0 $,$ \therefore x_{1}= \frac{16}{7} $,$ x_{2}= \frac{4}{3} $。
(4)解：原方程整理,得 $ x^{2}+2x - 8 = 0 $,$ \therefore (x + 4)(x - 2)= 0 $,$ \therefore x + 4 = 0 $ 或 $ x - 2 = 0 $,$ \therefore x_{1}= -4 $,$ x_{2}= 2 $。

答案： 【解析】：
(1) 原方程可变形为 $ x(2x + 5) = 0 $，则 $ x = 0 $ 或 $ 2x + 5 = 0 $，解得 $ x_1 = 0 $，$ x_2 = -\frac{5}{2} $。
(2) 原方程变形为 $ 7x(3 - x) - 4(x - 3) = 0 $，进一步化为 $ 7x(3 - x) + 4(3 - x) = 0 $，提取公因式得 $ (3 - x)(7x + 4) = 0 $，所以 $ 3 - x = 0 $ 或 $ 7x + 4 = 0 $，解得 $ x_1 = 3 $，$ x_2 = -\frac{4}{7} $。
(3) 原方程利用平方差公式，可变形为 $ [2(x - 3) + 5(x - 2)][2(x - 3) - 5(x - 2)] = 0 $，整理得 $ (2x - 6 + 5x - 10)(2x - 6 - 5x + 10) = 0 $，即 $ (7x - 16)(-3x + 4) = 0 $，则 $ 7x - 16 = 0 $ 或 $ -3x + 4 = 0 $，解得 $ x_1 = \frac{16}{7} $，$ x_2 = \frac{4}{3} $。
(4) 原方程展开并整理为一般形式：$ x^2 + 3x - x - 3 = 5 $，即 $ x^2 + 2x - 8 = 0 $，十字相乘法分解因式得 $ (x + 4)(x - 2) = 0 $，所以 $ x + 4 = 0 $ 或 $ x - 2 = 0 $，解得 $ x_1 = -4 $，$ x_2 = 2 $。
【答案】：
(1)$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=-\frac{5}{2} $；
(2)$ x_{1}=3 $，$ x_{2}=-\frac{4}{7} $；
(3)$ x_{1}=\frac{16}{7} $，$ x_{2}=\frac{4}{3} $；
(4)$ x_{1}=-4 $，$ x_{2}=2 $

1. 一元二次方程 $ x^{2}= x $ 的实数根是 (A)
A.$ 0 $ 或 $ 1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ \pm 1 $

答案： A

2. 方程 $ 2x(x - 5)= 6(x - 5) $ 的根是 (D)
A.$ x = 5 $
B.$ x= -5 $
C.$ x_{1}= -5 $,$ x_{2}= 3 $
D.$ x_{1}= 5 $,$ x_{2}= 3 $

答案： D

3. 菱形 $ ABCD $ 的一条对角线长为 $ 6cm $,边 $ AB $ 的长是方程 $ x^{2}-7x + 12 = 0 $ 的一个根,则菱形 $ ABCD $ 的周长等于 (C)
A.$ 10cm $
B.$ 12cm $
C.$ 16cm $
D.$ 12cm $ 或 $ 16cm $

答案： C

4. 用因式分解法解下列方程：
(1)$ x^{2}+2\sqrt{2}x + 2 = 0 $；
(2)$ 3(x - 5)^{2}= 2(5 - x) $；
(3)$ 2(x - 3)^{2}= 9 - x^{2} $；
(4)$ 9(2x + 3)^{2}= 4(2x - 5)^{2} $。

答案：
(1)$x_{1}=x_{2}=-\sqrt {2}$
(2)$x_{1}=5,x_{2}=\frac {13}{3}$
(3)$x_{1}=3,x_{2}=1$
(4)$x_{1}=0.1,x_{2}=-9.5$