《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

知识清单
1. 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 反之到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
2. 角平分线
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

答案： 1. 相等 相等 2. 距离相等 距离相等

例1 如下图, 在 $ \triangle ABC $ 中, 点 $ E $, $ F $ 是边 $ BC $ 上两点, $ ED $ 垂直平分 $ AB $, $ FG $ 垂直平分 $ AC $, 连接 $ AE $, $ AF $, 若 $ \angle BAC = 115^{\circ} $, 则 $ \angle EAF $ 的大小为 (B)

A.$ 45^{\circ} $
B.$ 50^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 65^{\circ} $

答案： B

例2 如下图, 在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ AD $ 平分 $ \angle BAC $, 交 $ BC $ 于点 $ D $, $ AB = 10 $, $ S_{\triangle ABD} = 15 $, 则 $ CD $ 的长为 (A)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： A

1. 如下图, $ DE $ 是 $ \triangle ABC $ 中 $ AC $ 边的垂直平分线, 若 $ BC = 6 \, \text{cm} $, $ AB = 8 \, \text{cm} $, 则 $ \triangle EBC $ 的周长为 (A)

A.$ 14 \, \text{cm} $
B.$ 18 \, \text{cm} $
C.$ 20 \, \text{cm} $
D.$ 22 \, \text{cm} $

答案： A

2. 如上图, 直线 $ l $, $ l' $, $ l'' $ 表示三条相互交叉的公路, 现计划建一个加油站, 要求它到三条公路的距离相等, 则可供选择的地址有 (D)

A.一处
B.二处
C.三处
D.四处

答案： D

3. 如下图, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线, $ DF \perp AB $ 于点 $ F $, 且 $ DE = DG $, $ S_{\triangle ADG} = 50 $, $ S_{\triangle AED} = 38 $, 则 $ \triangle DEF $ 的面积为 (A)

A.6
B.12
C.4
D.8

答案： A

4. 如下图, $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC = 30^{\circ} $, $ \angle ACB = 50^{\circ} $, $ DE $, $ FG $ 分别为 $ AB $, $ AC $ 的垂直平分线, $ E $, $ G $ 分别为垂足.
(1) $ \angle BAC $ 的度数为$100^{\circ}$;
(2) 求 $ \angle DAF $ 的度数;
解：∵DE是AB的垂直平分线
∴DA=DB
∴∠DAB=∠ABC=30°
∵FG是AC的垂直平分线
∴FA=FC
∴∠FAC=∠ACB=50°
∵∠BAC=100°
∴∠DAF=∠BAC - ∠DAB - ∠FAC=100° - 30° - 50°=20°
(3) 若 $ \triangle DAF $ 的周长为 20, 求 $ BC $ 的长.
解：∵△DAF的周长=DA+DF+FA=20
又∵DA=DB，FA=FC
∴BC=BD+DF+FC=DA+DF+FA=20

答案：
(1) $100^{\circ}$
(2) 解：
∵DE是AB的垂直平分线
∴DA=DB
∴∠DAB=∠ABC=30°
∵FG是AC的垂直平分线
∴FA=FC
∴∠FAC=∠ACB=50°
∵∠BAC=100°
∴∠DAF=∠BAC - ∠DAB - ∠FAC=100° - 30° - 50°=20°
(3) 解：
∵△DAF的周长=DA+DF+FA=20
又
∵DA=DB，FA=FC
∴BC=BD+DF+FC=DA+DF+FA=20