《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

13. 如上图,在$□ ABCD$中,一条边$AD$的长是8,一条对角线$AC$的长为6,那么它的另一条对角线$BD的长x$的取值范围是____10＜x＜22.

答案： 10 ＜ r ＜ 22

14. 如下图,在菱形$ABCD$中,$E$,$F分别是AC$,$BC$的中点,如果$EF = 5$,那么菱形$ABCD$的周长为____40.

答案： 40

15. 如上图,将两条宽度都为3的纸条重叠在一起,使$\angle ABC = 60^{\circ}$,则四边形$ABCD$的面积为6$\sqrt{3}$.

答案： 6$\sqrt{3}$

16. 如下图,在矩形$ABCD$中,$AB = 3$,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$AE垂直平分OB于点E$,则$AD$的长为____3$\sqrt{3}$.

答案： 3$\sqrt{3}$

17. 如上图,已知在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D是AC$延长线上的一点,$AD = 24$,点$E是BC$上一点,$BE = 10$,连接$DE$,$M$,$N分别是AB$,$DE$的中点,则$MN$的长为____13____.

答案： 13

18. 如下图,正方形$ABCD的对角线AC与BD相交于点E$,正方形$EFGH绕点E$旋转,直线$FB与直线CH相交于点P$,若$AB = 2$,$\angle DBP = 75^{\circ}$,则$DP^{2}$的值是____5 + 2$\sqrt{3}$.

答案： 5 + 2$\sqrt{3}$

19. 如下图,在$□ ABCD$中,点$E是BC$上的一点,连接$DE$,在$DE上取一点F$,使得$\angle AFE = \angle ADC$. 若$DE = AD$,求证：$DF = CE$.

答案： 解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AB// CD$，$AD// BC$，
所以$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle ADF=\angle DEC$，
又因为$\angle AFE+\angle AFD = 180^{\circ}$，$\angle AFE=\angle ADC$，
而$\angle ADC+\angle C = 180^{\circ}$（平行四边形邻角互补），
所以$\angle AFD=\angle C$。
在$\triangle ADF$和$\triangle DEC$中，
$\begin{cases}\angle ADF=\angle DEC\\\angle AFD=\angle C\\AD = DE\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADF\cong\triangle DEC$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$DF = CE$。
综上，$DF = CE$得证。

20. 如下图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为BC$的中点,四边形$ABDE$是平行四边形,$AC$,$DE相交于点O$.
(1) 求证：四边形$ADCE$是矩形；
(2) 若$\angle AOE = 60^{\circ}$,$AE = 4$,求矩形$ADCE$对角线的长.

答案： 1. （1）**证明四边形$ADCE$是矩形：
因为四边形$ABDE$是平行四边形，所以$AB = DE$，$AB// DE$，$AE = BD$，$AE// BD$。
又因为$AB = AC$，$D$为$BC$中点，所以$BD = CD$，$AD\perp BC$（等腰三角形三线合一）。
则$AE = CD$，且$AE// CD$，所以四边形$ADCE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又因为$AD\perp BC$，即$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以平行四边形$ADCE$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
2. （2）**求矩形$ADCE$对角线的长：
因为四边形$ADCE$是矩形，所以$OA = OE$。
已知$\angle AOE = 60^{\circ}$，所以$\triangle AOE$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
因为$AE = 4$，所以$OA=AE = 4$。
则矩形$ADCE$的对角线$AC = 2OA$（矩形的对角线相等且互相平分），所以$AC = 8$。
综上，（1）得证；（2）矩形$ADCE$对角线的长为$8$。