《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

21. 解方程：$\frac{4x}{x - 3}-2= \frac{x}{3 - x}$.

答案： 解：方程两边同乘$x - 3$，得$4x - 2(x - 3) = -x$。
去括号，得$4x - 2x + 6 = -x$。
移项、合并同类项，得$3x = -6$。
解得$x = -2$。
检验：当$x = -2$时，$x - 3 = -5 \neq 0$，所以$x = -2$是原方程的解。
原方程的解为$x = -2$。

22. (1)若方程$\frac{2x + a}{x - 2}= -1$的解是正数,求$a$的取值范围.
(2)若解关于$x的分式方程\frac{2}{x - 2}+\frac{mx}{x^{2}-4}= \frac{3}{x + 2}$会产生增根,求$m$的值.

答案：
(1)解：方程两边同乘$(x - 2)$得：$2x + a = - (x - 2)$
$2x + a = -x + 2$
$3x = 2 - a$
$x = \frac{2 - a}{3}$
因为解是正数，所以$\frac{2 - a}{3} ＞ 0$，即$2 - a ＞ 0$，$a ＜ 2$
又因为分母不能为$0$，所以$x - 2 ≠ 0$，即$\frac{2 - a}{3} - 2 ≠ 0$，$\frac{2 - a - 6}{3} ≠ 0$，$-a - 4 ≠ 0$，$a ≠ -4$
所以$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ -4$
(2)解：方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$得：$2(x + 2) + mx = 3(x - 2)$
$2x + 4 + mx = 3x - 6$
$(m - 1)x = -10$
因为分式方程有增根，所以$(x + 2)(x - 2) = 0$，即$x = 2$或$x = -2$
当$x = 2$时，$(m - 1)×2 = -10$，$2m - 2 = -10$，$2m = -8$，$m = -4$
当$x = -2$时，$(m - 1)×(-2) = -10$，$-2m + 2 = -10$，$-2m = -12$，$m = 6$
所以$m$的值为$-4$或$6$

23. 阅读材料：
若$m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$,求$m$,$n$的值.
解：$\because m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$,
$\therefore(m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-8n + 16)= 0$,
$\therefore(m - n)^{2}+(n - 4)^{2}= 0$,
$\therefore(m - n)^{2}= 0$,$(n - 4)^{2}= 0$,
$\therefore n = 4$,$m = 4$.
根据你的观察,探究下面的问题：
(1)已知$x^{2}+2xy + 2y^{2}+2y + 1 = 0$,求$2x + y$的值；
(2)已知$a - b = 4$,$ab + c^{2}-6c + 13 = 0$,求$a + b + c$的值.

答案：
(1)
解：$\because x^{2}+2xy + 2y^{2}+2y + 1 = 0$，
$\therefore (x^{2}+2xy + y^{2})+(y^{2}+2y + 1)=0$，
$\therefore (x + y)^{2}+(y + 1)^{2}=0$，
$\therefore (x + y)^{2}=0$，$(y + 1)^{2}=0$，
$\therefore y=-1$，$x=1$，
$\therefore 2x + y=2×1 + (-1)=1$。
(2)
解：$\because a - b = 4$，
$\therefore a = b + 4$，
$\because ab + c^{2}-6c + 13 = 0$，
$\therefore (b + 4)b + c^{2}-6c + 13 = 0$，
$\therefore b^{2}+4b + c^{2}-6c + 13 = 0$，
$\therefore (b^{2}+4b + 4)+(c^{2}-6c + 9)=0$，
$\therefore (b + 2)^{2}+(c - 3)^{2}=0$，
$\therefore (b + 2)^{2}=0$，$(c - 3)^{2}=0$，
$\therefore b=-2$，$c=3$，
$\therefore a = b + 4=-2 + 4=2$，
$\therefore a + b + c=2 + (-2)+3=3$。