《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

1. 若分式$\frac{x - 1}{x - 2}$有意义,则应满足的条件是(B)
A.$x\neq1$
B.$x\neq2$
C.$x\neq1且x\neq2$
D.$x\neq1或x\neq2$

答案： B

2. 若分式$\frac{x^{2}-9}{x - 3}$的值为0,则$x$的值等于(D)
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.-3

答案： D

3. 下列分式中为最简分式的是(B)
A.$\frac{a - b}{b - a}$
B.$\frac{x^{2}+y^{2}}{x + y}$
C.$\frac{x^{2}-4}{x + 2}$
D.$\frac{2 + a}{a^{2}+4a + 4}$

答案： B

4. 分式$\frac{3}{2a^{2}b}与\frac{a + b}{ab^{2}c}$的最简公分母是$2a^2b^2c$.

答案： 解：确定最简公分母的方法是：
1. 取各分母系数的最小公倍数，2 和 1 的最小公倍数是 2；
2. 凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，字母 c 单独出现，所以 c 是最简公分母的一个因式；
3. 同底数幂取次数最高的，a 的最高次幂是 $a^2$，b 的最高次幂是 $b^2$。
所以最简公分母是 $2a^2b^2c$。
$2a^2b^2c$

5. 若已知分式$\frac{2x}{3x^{2}+5y^{2}}$的值为9,把式中的$x$,$y$同时扩大为原来的3倍,则分式的值应是____3.

答案： 解：当$x$，$y$同时扩大为原来的3倍时，新分式为$\frac{2×3x}{3×(3x)^{2}+5×(3y)^{2}}$。
化简分母：$3×(9x^{2}) + 5×(9y^{2}) = 27x^{2} + 45y^{2} = 9(3x^{2} + 5y^{2})$。
新分式为$\frac{6x}{9(3x^{2} + 5y^{2})} = \frac{1}{3}×\frac{2x}{3x^{2} + 5y^{2}}$。
因为原分式$\frac{2x}{3x^{2} + 5y^{2}} = 9$，所以新分式的值为$\frac{1}{3}×9 = 3$。
3

6. 已知实数$x$,$y$,$a$,$b满足a - b = x - y = 3$,$ax + by = 7$.
(1)求$ay + bx$的值；
(2)求$\frac{ay + by + 3a}{ax + bx - 3a}$的值.

答案：
(1)解：因为$a - b = 3$，$x - y = 3$，所以$(a - b)(x - y)=9$，即$ax - ay - bx + by = 9$，整理得$(ax + by)-(ay + bx)=9$。又因为$ax + by = 7$，所以$7-(ay + bx)=9$，解得$ay + bx=-2$。
(2)解：$\frac{ay + by + 3a}{ax + bx - 3a}=\frac{y(a + b)+3a}{x(a + b)-3a}$。由$a - b = 3$得$b = a - 3$，代入$ay + bx=-2$，得$ay + (a - 3)x=-2$，即$a(y + x)-3x=-2$。由$x - y = 3$得$x = y + 3$，代入上式得$a(2y + 3)-3(y + 3)=-2$，整理得$(2a - 3)y + 3a - 9=-2$，即$(2a - 3)y=7 - 3a$，$y=\frac{7 - 3a}{2a - 3}$。则$x=y + 3=\frac{7 - 3a}{2a - 3}+3=\frac{7 - 3a + 6a - 9}{2a - 3}=\frac{3a - 2}{2a - 3}$。将$x=\frac{3a - 2}{2a - 3}$，$y=\frac{7 - 3a}{2a - 3}$代入原式，分子$y(a + b)+3a=y(2a - 3)+3a=\frac{(7 - 3a)(2a - 3)}{2a - 3}+3a=7 - 3a + 3a=7$，分母$x(a + b)-3a=x(2a - 3)-3a=\frac{(3a - 2)(2a - 3)}{2a - 3}-3a=3a - 2 - 3a=-2$，所以原式$=-\frac{7}{2}$。
(1)$-2$
(2)$-\frac{7}{2}$

知识清单
1. 分式的乘除
(1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.
(2)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,再与被除式相乘.
2. 分式的加减
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
(2)异分母分式的加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母的分式的加减法法则进行计算. 用字母表示为：$\frac{a}{b}\pm\frac{d}{c}= \frac{ac}{bc}\pm\frac{bd}{bc}= \frac{ac\pm bd}{bc}$.

答案： 1.
(2)相乘 2.
(1)不变
(2)同分母

例1 计算：
(1)$\frac{x^{2}}{y}÷(-\frac{y}{x})\cdot(\frac{y}{x})^{2}$；
(2)$\frac{2x}{x^{2}-9y^{2}}-\frac{1}{x + 3y}$；
(3)先化简,再求值：$\frac{a}{a^{2}-4}÷\frac{a^{2}-3a}{a + 2}-\frac{1}{2 - a}$,在0,1,2三个数中,选一个你喜欢的数代入求值.
【思路点拨】(1)先算乘方,然后将除法化为乘法,再约分即可；(2)先把分母分解因式,再通分,然后计算减法,最后化简；(3)化简时,先算除法,再算减法；代值的时候,需要排除所有分母为0的字母的值.

答案：
(1)解：原式$=\frac{x^{2}}{y}÷(-\frac{y}{x})\cdot\frac{y^{2}}{x^{2}}$
$=\frac{x^{2}}{y}\cdot(-\frac{x}{y})\cdot\frac{y^{2}}{x^{2}}$
$=-x$
(2)解：原式$=\frac{2x}{(x+3y)(x-3y)}-\frac{1}{x+3y}$
$=\frac{2x}{(x+3y)(x-3y)}-\frac{x-3y}{(x+3y)(x-3y)}$
$=\frac{2x-(x-3y)}{(x+3y)(x-3y)}$
$=\frac{2x-x+3y}{(x+3y)(x-3y)}$
$=\frac{x+3y}{(x+3y)(x-3y)}$
$=\frac{1}{x-3y}$
(3)解：原式$=\frac{a}{(a+2)(a-2)}÷\frac{a(a-3)}{a+2}-\frac{1}{2-a}$
$=\frac{a}{(a+2)(a-2)}\cdot\frac{a+2}{a(a-3)}+\frac{1}{a-2}$
$=\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{a-2}$
$=\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{a-3}{(a-2)(a-3)}$
$=\frac{1+a-3}{(a-2)(a-3)}$
$=\frac{a-2}{(a-2)(a-3)}$
$=\frac{1}{a-3}$
当$a=0$时，原式无意义；当$a=2$时，原式无意义；
当$a=1$时，原式$=\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}$