《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

17. 在数学实践活动课上,“卓越”小组准备研究如下问题：如图,EF为直尺的一条边,四边形ABCD为一块正方形纸板.
(1)如图1,小组成员小方把正方形的一条边AB与EF重合放置,刘老师做出了$∠DAF$的平分线AQ,交正方形的边于点P.刘老师让小组成员探索$∠PAB与∠DAE$之间的数量关系,则此时$∠PAB= $$45^{\circ}$；该数量关系为$\angle PAB=\frac{1}{2}\angle DAE$.
(2)将正方形纸板按如图2放置时,刘老师同样做出了$∠DAF$的平分线AQ,若设$∠DAE= \alpha $,其他条件不变,那么$∠PAB与∠DAE$之间的数量关系是否发生改变？请说明理由.
(3)将正方形按如图3放置时,请直接写出$∠QAB与∠DAE$之间的数量关系.
$\angle QAB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DAE$

答案：
(1) $ 45 ^ { \circ } $；$ \angle P A B = \frac { 1 } { 2 } \angle D A E $
(2) 解：$ \angle P A B $ 与 $ \angle D A E $ 之间的数量关系不变，理由如下：
$ \because \angle D A E = \alpha $，$ \therefore \angle D A F = 180 ^ { \circ } - \alpha $，
$ \angle D A Q = \frac { 1 } { 2 } \angle D A F = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \alpha $，
$ \therefore \angle P A B = 90 ^ { \circ } - ( 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \alpha ) = \frac { 1 } { 2 } \alpha $，
即 $ \angle P A B = \frac { 1 } { 2 } \angle D A E $.
(3) 解：$ \angle Q A B = 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle D A E $.

18. 如图1,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别是$(m,0)和(0,n)$,m,n满足$\sqrt {m-4}+n^{2}-8n+16= 0$,点C在y轴上,四边形ABCD是平行四边形,AC与BD交于点E.
(1)点A的坐标是______,点B的坐标是______；
(2)如图1,若点C在y轴的负半轴上,且$AB= BC$,求点E的坐标；
(3)若点C与原点O重合,$OH\perp BD$于点H,M为AB的中点,补全图2并求MH的长.

答案：

(1) $ ( 4,0 ) $；$ ( 0,4 ) $
(2) 点 $ E $ 的坐标为 $ ( 2,2 \sqrt { 2 } ) $.
(3) 补全图 2 如图，
$ \because E $ 为 $ O A $ 的中点，
$ \therefore O E = 2 $，
$ \therefore B E = \sqrt { O B ^ { 2 } + O E ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 5 } $，

$ \because S _ { \triangle B O E } = \frac { 1 } { 2 } B O \cdot O E = \frac { 1 } { 2 } B E \cdot O H $，
即 $ \frac { 1 } { 2 } × 4 × 2 = \frac { 1 } { 2 } × 2 \sqrt { 5 } \cdot O H $，$ \therefore O H = \frac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 } $，
$ \therefore B H = \sqrt { O B ^ { 2 } - O H ^ { 2 } } = \sqrt { 16 - \frac { 16 } { 5 } } = \frac { 8 \sqrt { 5 } } { 5 } $，
设点 $ H $ 的坐标为 $ ( x , y ) $，则
$ \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = \frac { 16 } { 5 } , } \\ { x ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } = \frac { 64 } { 5 } , } \end{array} \right. $
两式相减，得 $ - 8 y + 16 = \frac { 48 } { 5 } $，解得 $ y = \frac { 4 } { 5 } $，
$ \therefore x = \frac { 8 } { 5 } $ 或 $ x = - \frac { 8 } { 5 } $（舍），
$ \therefore $ 点 $ H $ 的坐标为 $ \left( \frac { 8 } { 5 } , \frac { 4 } { 5 } \right) $，
$ \because M $ 为 $ A B $ 的中点，$ \therefore $ 点 $ M $ 的坐标为 $ ( 2,2 ) $，
$ \therefore M H = \sqrt { \left( 2 - \frac { 8 } { 5 } \right) ^ { 2 } + \left( 2 - \frac { 4 } { 5 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 2 \sqrt { 10 } } { 5 } $.