《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

17. 用指定方法解一元二次方程：
(1)直接开平方法：$ (x + 6)^{2}-9 = 0 $；
(2)公式法：$ x^{2}-\sqrt{2}x-\frac{1}{4}= 0 $；
(3)配方法：$ 4x^{2}-x - 9 = 0 $；
(4)因式分解法：$ 4x^{2}-144 = 0 $。

答案： $(1)$ 直接开平方法：$(x + 6)^{2}-9 = 0$
解：
$\begin{aligned}(x + 6)^{2}&=9\\x + 6&=\pm\sqrt{9}\\x + 6&=\pm3\end{aligned}$
当$x + 6 = 3$时，$x = 3 - 6=-3$；
当$x + 6 = -3$时，$x = -3 - 6=-9$。
所以$x_1=-3$，$x_2=-9$。
$(2)$ 公式法：$x^{2}-\sqrt{2}x-\frac{1}{4}=0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-\sqrt{2}x-\frac{1}{4}=0$中，$a = 1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=-\frac{1}{4}$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-\sqrt{2})^{2}-4×1×(-\frac{1}{4})=2 + 1=3$。
将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式可得：
$\begin{aligned}x&=\frac{-(-\sqrt{2})\pm\sqrt{3}}{2×1}\\&=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
所以$x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$。
$(3)$ 配方法：$4x^{2}-x - 9 = 0$
解：
$\begin{aligned}4x^{2}-x&=9\\x^{2}-\frac{1}{4}x&=\frac{9}{4}\\x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}&=\frac{9}{4}+\frac{1}{64}\\(x-\frac{1}{8})^{2}&=\frac{144 + 1}{64}\\(x-\frac{1}{8})^{2}&=\frac{145}{64}\\x-\frac{1}{8}&=\pm\frac{\sqrt{145}}{8}\\x&=\frac{1\pm\sqrt{145}}{8}\end{aligned}$
所以$x_1=\frac{1+\sqrt{145}}{8}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{145}}{8}$。
$(4)$ 因式分解法：$4x^{2}-144 = 0$
解：
$\begin{aligned}4(x^{2}-36)&=0\\4(x + 6)(x - 6)&=0\end{aligned}$
则$x + 6 = 0$或$x - 6 = 0$，
解得$x_1=-6$，$x_2=6$。
综上，答案依次为：$(1)x_1=-3$，$x_2=-9$；$(2)x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$；$(3)x_1=\frac{1+\sqrt{145}}{8}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{145}}{8}$；$(4)x_1=-6$，$x_2=6$。

18. 选择适当的方法解下列方程：
(1)$ (2x - 1)^{2}-4 = 0 $；
(2)$ x^{2}-4x = 0 $；
(3)$ x^{2}-6x= -8 $；
(4)$ (x - 2)(x - 3)= 1 $；
(5)$ (x - 3)^{2}= 9 - x^{2} $；
(6)$ (3m + 2)^{2}-7(3m + 2)+10 = 0 $。

答案： $(1)$ 解方程$(2x - 1)^{2}-4 = 0$
解：
移项可得$(2x - 1)^{2}=4$，
根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b\geq0$），则$a=\pm\sqrt{b}$，
所以$2x - 1=\pm2$。
当$2x - 1 = 2$时，$2x=2 + 1$，即$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$；
当$2x - 1=-2$时，$2x=-2 + 1$，即$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
$(2)$ 解方程$x^{2}-4x = 0$
解：
提取公因式$x$，得$x(x - 4)=0$，
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，
所以$x = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=4$。
$(3)$ 解方程$x^{2}-6x = -8$
解：
移项得$x^{2}-6x + 8 = 0$，
因式分解，得$(x - 2)(x - 4)=0$，
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，
所以$x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$。
$(4)$ 解方程$(x - 2)(x - 3)=1$
解：
先将左边展开$x^{2}-3x-2x + 6 = 1$，
整理得$x^{2}-5x + 5 = 0$，
这里$a = 1$，$b=-5$，$c = 5$，
根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×5=25 - 20 = 5$，
所以$x=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$，
即$x_{1}=\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$。
$(5)$ 解方程$(x - 3)^{2}=9 - x^{2}$
解：
将右边变形为$(x - 3)^{2}=-(x^{2}-9)$，
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，则$(x - 3)^{2}=-(x + 3)(x - 3)$，
移项得$(x - 3)^{2}+(x + 3)(x - 3)=0$，
提取公因式$(x - 3)$得$(x - 3)(x - 3+x + 3)=0$，
即$(x - 3)(2x)=0$，
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，
所以$x - 3 = 0$或$2x = 0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=0$。
$(6)$ 解方程$(3m + 2)^{2}-7(3m + 2)+10 = 0$
解：
设$t = 3m + 2$，则原方程化为$t^{2}-7t + 10 = 0$，
因式分解得$(t - 2)(t - 5)=0$，
所以$t - 2 = 0$或$t - 5 = 0$，
即$t_{1}=2$，$t_{2}=5$。
当$t = 2$时，$3m + 2 = 2$，$3m=0$，解得$m = 0$；
当$t = 5$时，$3m + 2 = 5$，$3m=3$，解得$m = 1$。
综上，答案依次为：$(1)$$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$；$(2)$$x_{1}=0$，$x_{2}=4$；$(3)$$x_{1}=2$，$x_{2}=4$；$(4)$$x_{1}=\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$；$(5)$$x_{1}=3$，$x_{2}=0$；$(6)$$m_{1}=0$，$m_{2}=1$。