《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

1. 将$3x(a - b)-9y(b - a)$因式分解,应提的公因式是(D)
A.$3x - 9y$
B.$3x + 9y$
C.$a - b$
D.$3(a - b)$

答案： D

2. 下列因式分解正确的是(C)
A.$x^{2}+y^{2}= (x + y)^{2}$
B.$x^{4}-y^{4}= (x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})$
C.$-3a + 12= -3(a - 4)$
D.$a^{2}+7a - 8= a(a + 7)-8$

答案： C

3. 用如图1中的三种纸片拼成如图2的矩形,据此可写出一个多项式的因式分解,下列各项正确的是(C)


A.$3a^{2}+3ab + b^{2}= (a + b)(b + 3a)$
B.$3a^{2}-3ab + b^{2}= (a - b)(3a + b)$
C.$3a^{2}+4ab + b^{2}= (a + b)(3a + b)$
D.$a^{2}+4ab + 3b^{2}= (a + b)(3a + b)$

答案： C

4. 若实数$a$,$b$满足：$a + b = 6$,$a - b = 10$,则$2a^{2}-2b^{2}=$120.

答案： 解：因为$a + b = 6$，$a - b = 10$，
所以$2a^{2}-2b^{2}=2(a^{2}-b^{2})=2(a + b)(a - b)$
$=2×6×10$
$=120$
故答案为：120

5. 已知$x+\frac{1}{x}= 6$,则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=$34,$(x-\frac{1}{x})^{2}=$32.

答案： 解：因为$x + \frac{1}{x} = 6$，
所以$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 6^{2} - 2 = 36 - 2 = 34$；
$(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 = 34 - 2 = 32$。
34 32

6. 因式分解：
(1)$25(a + b)^{2}-9(a - b)^{2}$；
(2)$a^{2}(x - y)+9b^{2}(y - x)$；
(3)$(y^{2}-1)^{2}+6(1 - y^{2})+9$；
(4)$(x^{2}+1)(x^{2}-3)+4$.

答案：
(1)$4(4a + b)(a + 4b)$
(2)$(x - y)(a + 3b)(a - 3b)$
(3)$(y + 2)^2(y - 2)^2$
(4)$(x + 1)^2(x - 1)^2$

知识清单
1. 分式的概念
整式$A除以整式B可以表示成\frac{A}{B}$的形式. 如果除式$B$中含有字母,那么称$\frac{A}{B}$为分式,其中$A$称为分式的分子,$B$称为分式的分母,对于任意一个分式,分母都不能为零.
2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. 用式子表示：$\frac{A}{B}= \frac{A× m}{B× m}= \frac{A÷ m}{B÷ m}(m\neq0,B\neq0)$.
3. 最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式.

答案： 1.含有字母 不能为零 2.不变

例1 无论$a$取何值时,下列分式一定有意义的是(D)
A.$\frac{a^{2}+1}{a^{2}}$
B.$\frac{a + 1}{a^{2}}$
C.$\frac{a^{2}-1}{a + 1}$
D.$\frac{a - 1}{a^{2}+1}$

答案： D

例2 若分式$\frac{x - 2}{x + 3}$的值为0,则$x$为(A)
A.2
B.0
C.-2
D.-3

答案： A

例3 在均有意义的条件下,下列各组的分式不一定相等的是(A)
A.$\frac{2x}{x + y}与\frac{x}{y}$
B.$\frac{2m}{-3n}与-\frac{2m}{3n}$
C.$\frac{2a}{b}与\frac{2ab^{2}}{b^{3}}$
D.$\frac{6xz}{9x^{2}y}与\frac{2z}{3xy}$

答案： A