《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例 1 下列方程中是关于 $ x $ 的一元二次方程的是 (A)

A.$ 4x^{2}= 81 $
B.$ 2x^{2}-1 = 3y $
C.$ \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}= 2 $
D.$ ax^{2}+bx+c = 0 $

答案： 【解析】：
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数。
由这四个条件对四个选项逐一进行验证，满足这四个条件者为正确答案。
A. $4x^{2} = 81$，此方程满足上述四个条件，所以是一元二次方程，故A正确；
B. $2x^{2} - 1 = 3y$，此方程含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故B错误；
C. $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} = 2$，此方程不是整式方程，所以不是一元二次方程，故C错误；
D. $ax^{2} + bx + c = 0$，当$a = 0$时，此方程不是一元二次方程，故D错误。
【答案】：A

例 2 若 $ (m + 2)x^{|m|}+mx - 1 = 0 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程,则 (B)

A.$ m= \pm 2 $
B.$ m = 2 $
C.$ m= -2 $
D.$ m\neq\pm 2 $

答案： 【解析】：由于方程 $(m + 2)x^{|m|} + mx - 1 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，根据一元二次方程的定义，方程中 $x$ 的最高次数应为 2，即 $|m| = 2$。
同时，由于 $m + 2$ 是 $x^2$ 的系数，它不能为 0，即 $m + 2 \neq 0$。
解 $|m| = 2$ 可得 $m = \pm 2$，但由于 $m + 2 \neq 0$，所以 $m \neq -2$，因此 $m = 2$。
【答案】：B. $m = 2$

例 3 一元二次方程 $ 2x^{2}+5x = 6 $ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 (C)

A.$ 2,5,6 $
B.$ 5,2,6 $
C.$ 2,5,-6 $
D.$ 5,2,-6 $

答案： 【解析】：首先将方程 $2x^{2} + 5x = 6$ 整理为一般形式 $ax^{2} + bx + c = 0$。
通过移项，我们得到 $2x^{2} + 5x - 6 = 0$。
在这个一般形式中，二次项系数 $a = 2$，一次项系数 $b = 5$，常数项 $c = -6$。
【答案】：C

例 4 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-3bx - 5 = 0 $ 的一个根是 2,则 $ 8a - 12b $ 的值是 __10__。
【思路点拨】将 $ x = 2 $ 代入方程,得到关于 $ a,b $ 的等式,整体代入求值即可。

答案： 【解析】：因为关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-3bx - 5 = 0$的一个根是$2$，所以将$x = 2$代入方程可得：$a×2^{2}-3b×2 - 5 = 0$，即$4a - 6b - 5 = 0$，移项得$4a - 6b = 5$。
观察所求式子$8a - 12b$，可发现它是$4a - 6b$的$2$倍，所以$8a - 12b = 2×(4a - 6b)=2×5 = 10$。
【答案】：10

1. 下列方程中,是关于 $ x $ 的一元二次方程的是 (D)
A.$ \sqrt{x^{2}+1}= 3 $
B.$ x^{2}+2x = x^{2}-1 $
C.$ ax^{2}+bx+c = 0 $
D.$ 3(x + 1)^{2}= 2(x + 1) $

答案： D

2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (3 - a)x^{2}-x + 4 = 0 $,则 $ a $ 应满足的条件是 (C)
A.$ a\neq 1 $
B.$ a\neq 2 $
C.$ a\neq 3 $
D.$ a\neq 4 $

答案： C

3. 将一元二次方程 $ 5x^{2}-1 = 4x $ 化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别是 (C)
A.$ 5,-1 $
B.$ 5,4 $
C.$ 5,-4 $
D.$ 5,1 $

答案： C

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ (k - 5)x^{2}+(k + 2)x + 5 = 0 $。
(1)当 $ k $ 取何值时是一元一次方程？
(2)当 $ k $ 取何值时是一元二次方程？

答案： $(1)$ 求$k$取何值时方程是一元一次方程
解：
对于一元一次方程，其一般形式为$ax + b = 0$（$a\neq0$），在方程$(k - 5)x^{2}+(k + 2)x + 5 = 0$中，二次项系数$k - 5$必须为$0$，且一次项系数$k + 2$不能为$0$。
- 令二次项系数$k - 5 = 0$，
解得$k = 5$。
- 当$k = 5$时，一次项系数$k + 2 = 5 + 2 = 7\neq0$。
所以，当$k = 5$时，方程$(k - 5)x^{2}+(k + 2)x + 5 = 0$是一元一次方程。
$(2)$ 求$k$取何值时方程是一元二次方程
解：
对于一元二次方程，其一般形式为$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），在方程$(k - 5)x^{2}+(k + 2)x + 5 = 0$中，二次项系数$k - 5\neq0$。
解不等式$k - 5\neq0$，
解得$k\neq5$。
所以，当$k\neq5$时，方程$(k - 5)x^{2}+(k + 2)x + 5 = 0$是一元二次方程。
综上，答案为：$(1)$$\boldsymbol{k = 5}$；$(2)$$\boldsymbol{k\neq5}$。