《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

1. 下列计算正确的是(C)
A.$\frac{3b}{x}+\frac{b}{x}= \frac{2b}{x}$
B.$\frac{a}{a - b}-\frac{a}{b - a}= 0$
C.$\frac{bc}{a^{2}}\cdot\frac{2a}{b^{2}c}= \frac{2}{ab}$
D.$(a^{2}-a)÷\frac{a}{a - 1}= a^{2}$

答案： C

2. 分式$\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{a(a + 1)}$的计算结果是(C)
A.$\frac{1}{a + 1}$
B.$\frac{a}{a + 1}$
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{a + 1}{a}$

答案： C

3. 先化简,再求值：$\frac{a^{2}+2a + 1}{a^{2}+a}÷(2a-\frac{1 - a^{2}}{a})$,其中$a= \sqrt{2}+1$.

答案： 解：原式$=\frac{(a+1)^2}{a(a+1)}÷\left(\frac{2a^2}{a}-\frac{1 - a^2}{a}\right)$
$=\frac{a+1}{a}÷\frac{2a^2 - 1 + a^2}{a}$
$=\frac{a+1}{a}÷\frac{3a^2 - 1}{a}$
$=\frac{a+1}{a}×\frac{a}{3a^2 - 1}$
$=\frac{a+1}{3a^2 - 1}$
当$a = \sqrt{2}+1$时，$a^2=(\sqrt{2}+1)^2=3 + 2\sqrt{2}$
原式$=\frac{\sqrt{2}+1 + 1}{3(3 + 2\sqrt{2}) - 1}=\frac{\sqrt{2}+2}{9 + 6\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+2}{8 + 6\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}+2)(8 - 6\sqrt{2})}{(8 + 6\sqrt{2})(8 - 6\sqrt{2})}=\frac{8\sqrt{2}-6×2 + 16 - 12\sqrt{2}}{64 - 72}=\frac{-4\sqrt{2}+4}{-8}=\frac{-4(\sqrt{2}-1)}{-8}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
答案：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

4. 先化简：$(\frac{x + 2}{x^{2}-2x}-\frac{x - 1}{x^{2}-4x + 4})÷\frac{x - 4}{x}$,并从$0\leq x\leq4$中选取合适的整数代入求值.

答案： 解:当$x = 1$时,原式$=\frac{1}{(x - 2)^2}=1$;
当$x = 3$时,原式$=\frac{1}{(x - 2)^2}=1$.

例1 分式方程$\frac{2}{x + 1}+1= \frac{x}{x - 1}$的解为(B)
A.$x = 4$
B.$x = 3$
C.$x = 2$
D.$x = 1$

答案： B

例2 关于$x的分式方程\frac{x + m}{x - 2}+\frac{2m}{2 - x}= 3$的解为正实数,则实数$m$的取值范围是(D)
A.$m\lt - 6且m\neq2$
B.$m\gt6且m\neq2$
C.$m\lt6且m\neq - 2$
D.$m\lt6且m\neq2$

答案： D

例3 解方程：$\frac{6}{x^{2}-1}+\frac{x + 2}{1 - x}= -1$.
【思路点拨】先去分母,将原方程化为整式方程,解这个整式方程,然后检验,写出方程的解.

答案： 解：原方程可化为$\frac{6}{(x+1)(x-1)} - \frac{x + 2}{x - 1}= -1$。
方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得：
$6 - (x + 2)(x + 1) = - (x + 1)(x - 1)$
展开得：$6 - (x^2 + 3x + 2) = - (x^2 - 1)$
化简得：$6 - x^2 - 3x - 2 = -x^2 + 1$
即：$4 - 3x = 1$
解得：$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x = 1$是增根。
原方程无解。