《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

知识清单
1. 矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2. 矩形的性质
(1) 矩形是特殊的平行四边形,则矩形具有平行四边形的一切性质.
(2) 矩形的四个内角都是直角.
(3) 矩形的对角线相等且互相平分.
(4) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(5) 矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形.
3. 矩形的判定
(1) 有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
(2) 对角线相等的平行四边形是矩形.
(3) 有三个角是直角的四边形是矩形.

答案： 1. 直角
2.
(2)直角　
(3)相等且互相平分　
(4)斜边的一半
3.
(2)相等　
(3)直角

例1 如下图,矩形$ABCD$中,$AC = 2AB$,将矩形$ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'$. 使点$B的对应点B'落在AC$上,$B'C'交AD于点E$,在$B'C'上取点F$,使$B'F = AB$.
(1) 求证：$AE = C'E$；
(2) 求$\angle BFB'$的度数.

答案： 1. （1）证明：
在矩形$ABCD$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，因为$AC = 2AB$，根据直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^{\circ}$，所以$\angle ACB=\angle CAD = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$。
由旋转的性质可知$AB = AB'$，$\angle B'AC'=\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle AC'B'=\angle ACB = 30^{\circ}$。
所以$\angle EAC'=\angle AC'B' = 30^{\circ}$。
在$\triangle AEC'$中，根据等角对等边，因为$\angle EAC'=\angle AC'B'$，所以$AE = C'E$。
2. （2）解：
由
(1)得△ABB'是等边三角形
∴AB=BB'
∴∠ABB'=60°
即∠BB'F=∠AB'B+∠AB'F=150°
∵B'F=AB,
∴B'B=B'F
∴∠FBB'=∠B'FB=15°

1. 如下图,矩形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,且$\angle AOD = 120^{\circ}$. 过点$A作AE\perp BD于点E$,则$BE:ED$等于(A)

A.$1:3$
B.$1:4$
C.$2:3$
D.$2:5$

答案： A

2. 如下图,$\triangle ABC$中,$CD\perp AB于点D$,且$E是AC$的中点. 若$AD = 6$,$DE = 5$,则$CD$的长为____8.

答案： 8

3. 如下图,在直角三角形$ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,点$M是边AB$上一点(不与点$A$,$B$重合),作$ME\perp AC于点E$,$MF\perp BC于点F$,若点$P是EF$的中点,则$CP$的最小值是____1.2.

答案： 1.2

4. 如下图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$,对角线$AC$,$BD交于点O$,$DE平分\angle ADC$,交$BC于点E$,连接$OE$.
(1) 求证：四边形$ABCD$是矩形；
(2) 若$AB = 2$,求$\triangle OEC$的面积.

答案： 1. （1）证明四边形$ABCD$是矩形：
解：因为$AD// BC$，所以$\angle ABC+\angle BAD = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD=180^{\circ}-\angle ABC = 90^{\circ}$。
已知$\angle ADC = 90^{\circ}$，在四边形$ABCD$中，$\angle BAD=\angle ABC=\angle ADC = 90^{\circ}$。
根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，所以四边形$ABCD$是矩形。
2. （2）求$\triangle OEC$的面积：
解：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OC$，$AD// BC$，$CD = AB = 2$。
因为$DE$平分$\angle ADC$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle CDE=\angle ADE = 45^{\circ}$。
又因为$AD// BC$，所以$\angle DEC=\angle ADE = 45^{\circ}$。
所以$\triangle DCE$是等腰直角三角形，则$CE = CD = 2$。
过点$O$作$OF\perp BC$于点$F$。
因为$OA = OC$，$AD// BC$，所以$OF$是$\triangle ABC$的中位线。
则$OF=\frac{1}{2}AB = 1$，$CF=\frac{1}{2}CE = 1$（根据中位线平行于第三边且等于第三边的一半，这里$AD// BC$，$OA = OC$，$OF$平行于$AB$）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$\triangle OEC$，$a = CE$，$h = OF$。
$S_{\triangle OEC}=\frac{1}{2}× CE× OF$，把$CE = 2$，$OF = 1$代入可得：$S_{\triangle OEC}=\frac{1}{2}×2×1 = 1$。
综上，（1）四边形$ABCD$是矩形得证；（2）$\triangle OEC$的面积为$1$。