《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

15. 学校与图书馆在同一条笔直的道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地。两人之间的距离 $y$(m)与时间 $t$(min)之间的函数关系如下图所示。
(1) 根据图象信息,当 $t= $24min 时甲、乙两人相遇,甲的速度为40m/min；
(2) 解释图中点 $A$ 的实际意义；
(3) 求出线段 $AB$ 所表示的函数表达式。

答案： 1. （1）
由图象可知，当$t = 24$min 时甲、乙两人相遇。
甲$60$min 走完全程$2400m$，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，甲的速度$v_{甲}=\frac{2400}{60}=40$m/min。
2. （2）
点$A$的实际意义：乙到达学校，此时甲、乙两人之间的距离。
3. （3）
解：
先求乙的速度：
设乙的速度为$v_{乙}$，根据$s=(v_{甲}+v_{乙})t$（$t = 24$，$s = 2400$，$v_{甲}=40$），由$2400=(40 + v_{乙})×24$，
则$40 + v_{乙}=\frac{2400}{24}=100$，解得$v_{乙}=60$m/min。
乙从图书馆回学校所用时间$t_{乙}=\frac{2400}{60}=40$min。
当$t = 40$时，甲走的路程$s_{甲}=40×40 = 1600$m，所以$A(40,1600)$。
设线段$AB$的函数表达式为$y=kx + b$（$k\neq0$），$A(40,1600)$，$B(60,2400)$。
把$A(40,1600)$，$B(60,2400)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}40k + b=1600\\60k + b=2400\end{cases}$。
用$60k + b-(40k + b)=2400 - 1600$，
即$60k + b - 40k - b = 800$，$20k=800$，解得$k = 40$。
把$k = 40$代入$40k + b=1600$，得$40×40 + b=1600$，$b = 0$。
所以：
(1) $t = 24$min 时甲、乙两人相遇，甲的速度为$40$m/min；
(2) 点$A$的实际意义是乙到达学校，此时甲、乙两人之间的距离；
(3) 线段$AB$所表示的函数表达式为$y = 40x(40\leqslant x\leqslant60)$。

16. 如下图,在平面直角坐标系中,正方形 $OABC$ 的边长为 $a$,直线 $y = bx + c$ 交 $x$ 轴于点 $E$,交 $y$ 轴于点 $F$,且 $a$,$b$,$c$ 分别满足 $-(a - 4)^{2}≥0$,$c = \sqrt{b - 2}+\sqrt{2 - b}+8$。
(1) 求直线 $y = bx + c$ 的表达式并直接写出正方形 $OABC$ 的对角线的交点 $D$ 的坐标。
(2) 直线 $y = bx + c$ 沿 $x$ 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度平移,设平移的时间为 $t$ s,是否存在一个 $t$ 值使直线 $EF$ 平分正方形 $OABC$ 的面积？若存在,请求出 $t$ 的值；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)解：由$-(a - 4)^2 \geq 0$，得$a = 4$。
由$c = \sqrt{b - 2} + \sqrt{2 - b} + 8$，得$b = 2$，$c = 8$。
直线表达式为$y = 2x + 8$。
正方形$OABC$对角线交点$D$的坐标为$(2, 2)$。
(2)解：存在。
直线$y = 2x + 8$与$x$轴交于$E(-4, 0)$。
平移后直线表达式为$y = 2(x - t) + 8$。
当直线过$D(2, 2)$时，$2 = 2(2 - t) + 8$，解得$t = 5$。