《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例 1 若关于 $x$ 的方程 $mx^{2m - 1}+(m - 1)x - 2 = 0$ 是一元一次方程,求这个方程的解。
【思路点拨】根据一元一次方程的定义可求出 $m$ 的值,从而可求出 $x$ 的值。

答案： 解：分三种情况讨论：
情况1：当$2m - 1 = 1$时，解得$m = 1$。
此时方程为$1 \cdot x + (1 - 1)x - 2 = 0$，即$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
情况2：当$m = 0$时，原方程变为$0 \cdot x^{-1} + (0 - 1)x - 2 = 0$，即$-x - 2 = 0$，解得$x = -2$。
情况3：当$2m - 1 = 0$时，解得$m = \frac{1}{2}$。
此时方程为$\frac{1}{2}x^{0} + (\frac{1}{2} - 1)x - 2 = 0$，即$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x - 2 = 0$，化简得$-\frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$，解得$x = -3$。
综上，方程的解为$x = 2$或$x = -2$或$x = -3$。

例 2 解方程组：
(1) $\begin{cases}4x + 2y = 7, &①\\x - 2y = 3; &②\end{cases} $
(2) $\begin{cases}3x - 4(x - y) = 2, &①\\2x - 3y = 1. &②\end{cases} $
【思路点拨】(1) 利用加减消元法求解可得；(2) 将第一个方程整理成一般式,再利用代入消元法求解可得。

答案：
(1)解：①+②，得5x=10，解得x=2。把x=2代入②，得2-2y=3，解得y=-$\frac{1}{2}$。所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}$。
(2)解：由①，得-x+4y=2，即x=4y-2③。把③代入②，得2(4y-2)-3y=1，解得y=1。把y=1代入③，得x=4×1-2=2。所以方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。

例 3 某商场花 9 万元从厂家购买 $A$ 型和 $B$ 型两种型号的电视机共 50 台,其中 $A$ 型电视机的进价为每台 1500 元,$B$ 型电视机的进价为每台 2500 元。
(1) 求该商场购买 $A$ 型和 $B$ 型电视机各多少台；
(2) 若商场 $A$ 型电视机的售价为每台 1700 元,$B$ 型电视机的售价为每台 2800 元,不考虑其他因素,那么销售完这 50 台电视机该商场可获利多少元？
【思路点拨】(1) 根据 $A$ 型、$B$ 型两种型号的电视机共 50 台,共用 9 万元列出方程组解答即可；(2) 算出各自每台的利润乘台数,得出各自的利润,再相加即可。

答案：
(1)解:设该商场购买A型电视机x台，B型电视机y台，由题意，得
$\begin{cases}x + y = 50\\1500x + 2500y = 90000\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 35\\y = 15\end{cases}$
答:该商场购买A型电视机35台，B型电视机15台.
(2)解:35×(1700−1500)+15×(2800−2500)
=35×200+15×300
=7000+4500
=11500(元)
答:销售完这50台电视机该商场可获利11500元.

1. 下列方程中,属于二元一次方程的是(A)
A.$3a = b$
B.$2x - 3z = y$
C.$2x^{2}-1 = 7$
D.$3x - 2 = 7$

答案： A

2. 下列说法不一定成立的是(D)
A.若 $a = b$,则 $a - 3 = b - 3$
B.若 $a = 3$,则 $a^{2}= 3a$
C.若 $3a = 2b$,则 $\frac{a}{2}= \frac{b}{3}$
D.若 $a = b$,则 $\frac{1}{a}= \frac{1}{b}$

答案： D