《2025年本土假期作业巩固训练八年级数学北师大版》

例 1 用公式法解方程：
(1)$ x^{2}-4x + 1 = 0 $；(2)$ 5x^{2}= 4x - 1 $；
(3)$ 2x^{2}-2x - 1 = 0 $；(4)$ 4x(x-\frac{5}{2})= 8 $。
【思路点拨】各方程整理为一般形式,找出 $ a,b,c $ 的值,计算出 $ b^{2}-4ac $ 的值,若结果大于等于 0,代入求根公式求出解即可,若结果小于 0,则方程无解。
(1)解：这里 $ a = 1 $,$ b= -4 $,$ c = 1 $,$ \because b^{2}-4ac = 16 - 4 = 12 $,$ \therefore x= \frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}= 2\pm\sqrt{3} $,$ \therefore x_{1}= 2+\sqrt{3} $,$ x_{2}= 2-\sqrt{3} $。
(2)解：方程整理,得 $ 5x^{2}-4x + 1 = 0 $,这里 $ a = 5 $,$ b= -4 $,$ c = 1 $,$ \because b^{2}-4ac = 16 - 20= -4\lt 0 $,$ \therefore $ 方程无解。
(3)解：这里 $ a = 2 $,$ b= -2 $,$ c= -1 $,$ \because b^{2}-4ac = 4 + 8 = 12 $,$ \therefore x= \frac{2\pm 2\sqrt{3}}{4} $,解得 $ x_{1}= \frac{1+\sqrt{3}}{2} $,$ x_{2}= \frac{1-\sqrt{3}}{2} $。
(4)解：方程整理,得 $ 2x^{2}-5x - 4 = 0 $,这里 $ a = 2 $,$ b= -5 $,$ c= -4 $,$ \because b^{2}-4ac = 25 + 32 = 57 $,$ \therefore x= \frac{5\pm\sqrt{57}}{4} $,则 $ x_{1}= \frac{5+\sqrt{57}}{4} $,$ x_{2}= \frac{5-\sqrt{57}}{4} $。

答案： 【解析】：
(1) 对于方程 $x^{2} - 4x + 1 = 0$，已经找出 $a = 1, b = -4, c = 1$，并计算出 $b^{2} - 4ac = 16 - 4 = 12$，
利用求根公式，得到 $x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$，
所以 $x_{1} = 2 + \sqrt{3}, x_{2} = 2 - \sqrt{3}$。
(2) 对于方程 $5x^{2} = 4x - 1$，整理得 $5x^{2} - 4x + 1 = 0$，
这里 $a = 5, b = -4, c = 1$，
并计算出 $b^{2} - 4ac = 16 - 20 = -4 ＜ 0$，
所以方程无解。
(3) 对于方程 $2x^{2} - 2x - 1 = 0$，已经找出 $a = 2, b = -2, c = -1$，
并计算出 $b^{2} - 4ac = 4 + 8 = 12$，
利用求根公式，得到 $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4}$，
化简得 $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, x_{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$。
(4) 对于方程 $4x(x - \frac{5}{2}) = 8$，整理得 $2x^{2} - 5x - 4 = 0$（首先将方程展开：$4x^2 - 10x - 8 = 0$，然后两边同时除以2得到），
这里 $a = 2, b = -5, c = -4$，
并计算出 $b^{2} - 4ac = 25 + 32 = 57$，
利用求根公式，得到 $x = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{4}$，
所以 $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{57}}{4}, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{57}}{4}$。
【答案】：
(1) $x_{1} = 2 + \sqrt{3}, x_{2} = 2 - \sqrt{3}$；
(2) 方程无解；
(3) $x_{1} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, x_{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$；
(4) $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{57}}{4}, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{57}}{4}$。

1. 用求根公式计算方程 $ x^{2}-3x + 2 = 0 $ 的根,公式中 $ b $ 的值为 (B)
A.$ 3 $
B.$ -3 $
C.$ 2 $
D.$ -\frac{3}{2} $

答案： B

2. $ x= \frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4× 3× (-1)}}{2× 3} $ 是下列哪个一元二次方程的根 (D)
A.$ 3x^{2}+2x - 1 = 0 $
B.$ 2x^{2}+4x - 1 = 0 $
C.$ -x^{2}-2x + 3 = 0 $
D.$ 3x^{2}-2x - 1 = 0 $

答案： D

3. 用公式法解方程：
(1)$ x^{2}+4x - 1 = 0 $；
(2)$ \frac{2}{3}t^{2}= 2t - 1 $。

答案：
(1)$x_{1}=-2+\sqrt {5},x_{2}=-2-\sqrt {5}$
(2)$t_{1}=\frac {3+\sqrt {3}}{2},t_{2}=\frac {3-\sqrt {3}}{2}$

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2mx^{2}-(5m - 1)x + 3m - 1 = 0 $。
(1)求证：无论 $ m $ 为任意实数,方程总有实数根。
(2)如果这个方程的根的判别式的值等于 1,求 $ m $ 的值。

答案：
(1)证明:$\Delta=(5m - 1)^{2}-8m(3m - 1)=(m - 1)^{2}≥0$,
$\therefore$无论$m$为任何实数,方程总有实根.
(2)解:由题意,得$\Delta=(m - 1)^{2}=1$,解得$m_{1}=0,m_{2}=2$,
而$m≠0,\therefore m = 2$.