《2025年高中必修课程复习与检测数学》

23. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P - ABCD中，AD//BC，∠ABC = 90°，PA⊥平面ABCD，PA = 3，AD = 2，AB = 2$\sqrt{3}$，BC = 6.
求证：BD⊥平面PAC.
　　　　　

答案： 证明：$\because PA\perp$面$ABCD$，$BD\subset$面$ABCD$，$\therefore PA\perp BD$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\because AD = 2$，$AB = 2\sqrt{3}$，$\therefore \tan\angle ABD=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore \angle ABD = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\because AB = 2\sqrt{3}$，$BC = 6$，$\therefore \tan\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$，$\therefore \angle BAC = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$\because \angle BAE = 60^{\circ}$，$\angle ABE = 30^{\circ}$，$\therefore \angle AEB = 90^{\circ}$，即$BD\perp AC$。
又$\because PA\cap AC = A$，$PA$，$AC\subset$平面$PAC$，$\therefore BD\perp$平面$PAC$。