《2025年高中必修课程复习与检测数学》

21. 已知向量$\boldsymbol{a}=(4,3)$，$\boldsymbol{b}=(-1,2)$.
(1)求$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角$\theta$的余弦值；
(2)若向量$\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b}$与$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$垂直，求$\lambda$的值.

答案： 解：
(1)$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$，
$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.
$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1\times4 + 3\times2 = 2$，
$\therefore\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{2}{5\times\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}$.
(2)$\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b}=(4,3)-(-\lambda,2\lambda)=(4+\lambda,3 - 2\lambda)$.
$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(8,6)+(-1,2)=(7,8)$.
若$(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})\perp(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，
则$7(4+\lambda)+8(3 - 2\lambda)=0$，
解得$\lambda=\frac{52}{9}$.