《2025年高中必修课程复习与检测数学》

24. 要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距$\sqrt{3}$km的C，D两点，并测得$\angle ACB = 75^{\circ}$，$\angle BCD = 45^{\circ}$，$\angle ADC = 30^{\circ}$，$\angle ADB = 45^{\circ}$，则A，B之间的距离为多少？

答案：
解：如图，在$\triangle ACD$中，

$\angle ACD = 120^{\circ}$，$\angle CAD=\angle ADC = 30^{\circ}$，
$\therefore AC = CD=\sqrt{3}(\text{km})$.
在$\triangle BCD$中，
$\angle BCD = 45^{\circ}$，$\angle BDC = 75^{\circ}$，$\angle CBD = 60^{\circ}$.
$\therefore BC=\frac{\sqrt{3}\sin75^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}(\text{km})$.
在$\triangle ABC$中，由余弦定理，得
$AB^{2}=(\sqrt{3})^{2}+(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^{2}-2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\times\cos75^{\circ}$
$=3 + 2+\sqrt{3}-\sqrt{3}=5$，
$\therefore AB=\sqrt{5}(\text{km})$.
$\therefore A$，$B$之间的距离为$\sqrt{5}\text{ km}$.