《2025年高中必修课程复习与检测数学》

21. 已知函数$f(x) = a^{x - 1}(x\geqslant0)$的图象经过点$(2,\frac{1}{2})$，其中$a ＞ 0$且$a\neq1$.
(1)求$a$的值；
(2)求函数$f(x)$的值域.

答案： 解：
(1)函数图象经过点$(2,\frac{1}{2})$，所以$a^{2 - 1}=\frac{1}{2}$，则$a=\frac{1}{2}$.
(2)$f(x)=(\frac{1}{2})^{x - 1}(x\geq0)$，
由$x\geq0$，得$x - 1\geq - 1$.
于是$0＜(\frac{1}{2})^{x - 1}\leq(\frac{1}{2})^{-1}=2$.
所以函数的值域为$(0,2]$.