《2025年高中必修课程复习与检测数学》

16. 若2cosθ + (1 - sinθ)i是纯虚数，则θ = ________.

答案： $2k\pi+\frac{3\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$也可写成$\theta = 2k\pi-\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$

17. 已知复数x² - 6x + 5 + (x - 2)i在复平面内的对应点在第三象限，则实数x的取值范围是________.

答案： $(1,2)$

18. 在复平面内，若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$对应的复数分别为7 + i，3 - 2i，则|$\overrightarrow{AB}$| = ________.

答案： 5

19. 若复数z满足z + i = $\frac{3 + i}{i}$，则|z| = ________.

答案： $\sqrt{17}$

20. 计算：
(1)$( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)(2 - i)(3 + i)$；
(2)$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2}i)²(4 + 5i)}{(5 - 4i)(1 + i)}$.

答案： 解：
(1)原式$=\frac{\sqrt{3}-7}{2}+\frac{7\sqrt{3}+1}{2}\text{i}$.
(2)原式$=\frac{4\text{i}(4 + 5\text{i})}{(5 - 4\text{i})(1 + \text{i})}=\frac{-4(5 - 4\text{i})}{(5 - 4\text{i})(\text{i}+1)}=\frac{-4}{\text{i}+1}=\frac{4(\text{i}-1)}{2}=-2 + 2\text{i}$.