《2025年高中必修课程复习与检测数学》

20. 如图，一个圆台的母线长为7，两底面面积分别为9π，16π. 求：
(1)求圆台的体积；
(2)截得此圆台的圆锥的侧面积.
　　

答案： 解：
(1)由题意得，圆台高为$4\sqrt{3}$，则圆台体积为$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×(9\pi + 16\pi + 12\pi)=\frac{148\sqrt{3}\pi}{3}$。
(2)设截得此圆台的圆锥母线长为$l$，则$\frac{3}{4}=\frac{l - 7}{l}$，得$l = 28$，所以圆锥侧面积为$112\pi$。

21. 如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为$\sqrt{6}$，求球的表面积和体积.
　　

答案：
解：作轴截面如图所示，$CC'=\sqrt{6}$，$AC=\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}=2\sqrt{3}$，设球的半径为$R$，则$R^{2}=OC^{2}+CC'^{2}=(\sqrt{6})^{2}+(\sqrt{3})^{2}=9$。
$\therefore R = 3$，
$\therefore S_{球}=4\pi R^{2}=36\pi$，$V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=36\pi$。