《2025年高中必修课程复习与检测数学》

24. 设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)z·$\overline{z}$ + 2iz = 8 + ai(a∈R). 试求a的取值范围.

答案： 解：
(1)设$z = x + y\text{i}(x,y\in\mathbf{R})$，
由
(1)知$x＜0$，$y＞0$，
由
(2)得$x^{2}+y^{2}+2\text{i}(x + y\text{i}) = 8 + a\text{i}$，
得$\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2y = 8, &①\\ 2x = a. &②\end{cases}$
由①得$x^{2}=-y^{2}+2y + 8$，
$x^{2}=-(y - 1)^{2}+9\leqslant9$.
$\because x＜0$，$\therefore -3\leqslant x＜0$.
$\therefore -6\leqslant a＜0$. $\therefore a$的取值范围是$[-6,0)$.