《2025年高中必修课程复习与检测数学》

21. 已知函数f(x) = $\sqrt{x + 3}$ + $\frac{1}{x + 2}$.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(-3)，f($\frac{2}{3}$)的值；
(3)当a ＞ 0时，求f(a)，f(a - 1)的值.

答案： 解：
(1)使根式$\sqrt{x + 3}$有意义的实数$x$的集合是$\{x\mid x\geq - 3\}$，使分式$\frac{1}{x + 2}$有意义的实数$x$的集合是$\{x\mid x\neq - 2\}$，所以这个函数的定义域是$\{x\mid x\geq - 3\}\cap\{x\mid x\neq - 2\} = \{x\mid x\geq - 3且x\neq - 2\}$.
(2)$f(-3) = \sqrt{-3 + 3} + \frac{1}{-3 + 2} = -1$；$f(\frac{2}{3}) = \sqrt{\frac{2}{3} + 3} + \frac{1}{\frac{2}{3} + 2} = \sqrt{\frac{11}{3}} + \frac{3}{8} = \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{33}}{3}$.
(3)因为$a ＞ 0$，故$f(a)$，$f(a - 1)$有意义. $f(a) = \sqrt{a + 3} + \frac{1}{a + 2}$. $f(a - 1) = \sqrt{a - 1 + 3} + \frac{1}{(a - 1) + 2} = \sqrt{a + 2} + \frac{1}{a + 1}$.