《2025年高中必修课程复习与检测数学》

16. 若$x\in\mathbf{R}$，则$\frac{x}{1 + x^2}$与$\frac{1}{2}$的大小关系为________.

答案： $\frac{x}{1 + x^{2}}\leqslant\frac{1}{2}$ 解析：$\because\frac{x}{1 + x^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{2x - 1 - x^{2}}{2(1 + x^{2})}=\frac{-(x - 1)^{2}}{2(1 + x^{2})}\leqslant0$，$\therefore\frac{x}{1 + x^{2}}\leqslant\frac{1}{2}$。

17. 周长为$l$的矩形对角线长的最小值为________.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{4}l$

18. 若$x$，$y\in\mathbf{R}^+$，且$x + 4y = 1$，则$xy$的最大值为________.

答案： $\frac{1}{16}$ 解析：$xy=\frac{1}{4}x\cdot4y\leqslant\frac{1}{4}(\frac{x + 4y}{2})^{2}=\frac{1}{16}$，当且仅当$x = 4y=\frac{1}{2}$时取得等号。

19. 不等式$\frac{2x + 1}{3 - x}\leqslant1$的解集为________.

答案： $(-\infty,\frac{2}{3}]\cup(3,+\infty)$

20. 已知$a$，$b\in\mathbf{R}$，比较$a^4 + b^4$与$a^2b + ab^2$的大小.

答案： 解：$\because a^{4}+b^{4}-(a^{3}b + ab^{3})$
$=a^{3}(a - b)+b^{3}(b - a)=(a^{3}-b^{3})(a - b)$
$=(a - b)^{2}(a^{2}+ab + b^{2})$
$=(a - b)^{2}[(a+\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}b^{2}]\geqslant0$，
$\therefore a^{4}+b^{4}\geqslant a^{3}b + ab^{3}$。