《2025年高中必修课程复习与检测数学》

24. 已知函数$f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)^{2} + 1$的定义域与值域都是$[1, b](b ＞ 1)$，求实数$b$的值.

答案： 解：$f(x)=\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+1$，$x\in[1,b]$且$b＞1$，
则$f(1)=1$，$f(b)=\frac{1}{2}(b - 1)^{2}+1$，
$\therefore$函数值域为$[1,\frac{1}{2}(b - 1)^{2}+1]$.
由已知得$\frac{1}{2}(b - 1)^{2}+1=b$，解得$b = 3$或$b = 1$(舍).