《2025年高中必修课程复习与检测数学》

23. 已知$x$，$y$为正实数，且$x + 2y = 3$，求$\sqrt{2x(y + \frac{1}{2})}$的最大值.

答案： 解：因为$x$，$y$为正实数，且$x + 2y = 3$，
所以$\sqrt{2x(y+\frac{1}{2})}=\sqrt{(3 - 2y)\cdot(2y + 1)}\leqslant\frac{3 - 2y + 2y + 1}{2}=2$，当且仅当$3 - 2y = 2y + 1$，即$x = 2$，$y=\frac{1}{2}$时取等号，
所以$\sqrt{2x(y+\frac{1}{2})}$的最大值为$2$。