《2025年高中必修课程复习与检测数学》

11. 设$\boldsymbol{a}=(1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(-3,4)$，$\boldsymbol{c}=(3,2)$，则$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=$（ ）
A. $(-15,12)$
B. 0
C. -3
D. -11

答案： C 解析：$\because\boldsymbol{a}=(1,-2)$，$\boldsymbol{b}=(-3,4)$，$\boldsymbol{c}=(3,2)$，
$\therefore(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=(1 - 6,-2 + 8)\cdot(3,2)=-15 + 12 = -3$.

12. 在四边形ABCD中，若$\overrightarrow{AC}=(1,2)$，$\overrightarrow{BD}=(-4,2)$，则该四边形的面积为 （ ）
A. $\sqrt{5}$
B. $2\sqrt{5}$
C. 5
D. 10

答案： C 解析：$\because\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$，$\therefore AC\perp BD$.
$\therefore$四边形ABCD的面积
$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|=\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times2\sqrt{5}=5$.

13. 在△ABC中，$a = 3$，$b = \sqrt{7}$，$c = 2$，那么$B$等于 （ ）
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

答案： C 解析：$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{9 + 4 - 7}{12}=\frac{1}{2}$，
$\because B\in(0^{\circ},180^{\circ})$，$\therefore B = 60^{\circ}$.

14. 在△ABC中，若$A = 105^{\circ}$，$B = 45^{\circ}$，$b = 2\sqrt{2}$，则$c$等于 （ ）
A. 1
B. 2
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$

答案： B 解析：$\because A = 105^{\circ}$，$B = 45^{\circ}$，$\therefore C = 30^{\circ}$. 由正弦定理，得$c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{2\sqrt{2}\sin30^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=2$.

15. 已知△ABC中，$AB = \sqrt{3}$，$AC = 1$，且$B = 30^{\circ}$，则△ABC的面积等于（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\sqrt{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D