《2025年高中必修课程复习与检测数学》

24. 已知函数f(x) = sin(2x + $\frac{π}{6}$) + $\frac{3}{2}$.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y = sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

答案： 解：
(1)$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \frac{3}{2}$，$\therefore f(x)$的最小正周期是$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。由题意得$2k\pi - \frac{\pi}{2}\leqslant2x + \frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi + \frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbf{Z}$，即$k\pi - \frac{\pi}{3}\leqslant x\leqslant k\pi + \frac{\pi}{6}$，$k\in\mathbf{Z}$。$\therefore f(x)$的单调递增区间为$[k\pi - \frac{\pi}{3},k\pi + \frac{\pi}{6}]$，$k\in\mathbf{Z}$。
(2)先把$y = \sin2x$图象上所有点向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，得到$y = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$的图象，再把图象上所有点向上平移$\frac{3}{2}$个单位长度，就得到$y = \sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \frac{3}{2}$的图象。