《2025年高中必修课程复习与检测数学》

10. 设$0＜x＜\frac{3}{2}$，则函数$y = x(3 - 2x)$的最大值是 （ ）
A. $\frac{9}{16}$
B. $\frac{9}{4}$
C. 2
D. $\frac{9}{8}$

答案： D

11. 已知$a\geqslant0$，$b\geqslant0$，$a + b = 1$，则 （ ）
A. $ab\leqslant\frac{1}{2}$
B. $ab\geqslant1$
C. $a^2 + b^2\leqslant\frac{1}{2}$
D. $a^2 + b^2\geqslant1$

答案： A

12. 若$0＜x＜1$，则函数$y = x(3 - 3x)$取得最大值时$x$的值为 （ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{2}{5}$

答案： A 解析：$\because 0＜x＜1$，$\therefore 1 - x＞0$。
$\therefore y=x(3 - 3x)=3x(1 - x)\leqslant3\times[\frac{x+(1 - x)}{2}]^{2}=\frac{3}{4}$，当且仅当$x=1 - x$，即$x=\frac{1}{2}$时取等号。

13. 已知$a＞0$，$b＞0$，$a + b = 2$，则$y = \frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值是 （ ）
A. $\frac{7}{2}$
B. 4
C. $\frac{9}{2}$
D. 5

答案： C 解析：$\because a + b = 2$，$\therefore y=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{a + b}{2a}+\frac{2a + 2b}{b}=\frac{1}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{2a}{b}+2\geqslant\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{b}{2a}\cdot\frac{2a}{b}}=\frac{9}{2}$，当且仅当$\frac{b}{2a}=\frac{2a}{b}$且$a + b = 2$时取等号。

14. 不等式$2x + 3 - x^2＞0$的解集是 （ ）
A. $\{x|-1＜x＜3\}$
B. $\{x|-3＜x＜1\}$
C. $\{x|x＜-1或x＞3\}$
D. $\{x|x＜3\}$

答案： A 解析：不等式为$x^{2}-2x - 3＜0$，
$\therefore (x - 3)(x + 1)＜0$，$\therefore - 1＜x＜3$。

15. 下列不等式中不成立的是 （ ）
A. $a^2 + 2＞2a$
B. $a^2 + b^2\geqslant2(a - b - 1)$
C. $a^2 + b^2\geqslant ab$
D. $(a + 3)(a - 5)＞(a + 2)(a - 4)$

答案： D 解析：A中：$a^{2}+2 - 2a=(a - 1)^{2}+1＞0$，故A正确；
B中：$a^{2}+b^{2}-2(a - b - 1)=a^{2}-2a + b^{2}+2b + 2=(a - 1)^{2}+(b + 1)^{2}\geqslant0$，故B正确；
C中：$a^{2}+b^{2}-ab=a^{2}-ab+\frac{1}{4}b^{2}+\frac{3}{4}b^{2}=(a-\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}\geqslant0$，故C正确；
D中：$\because (a + 3)(a - 5)-(a + 2)(a - 4)=(a^{2}-2a - 15)-(a^{2}-2a - 8)=-7＜0$，
$\therefore (a + 3)(a - 5)＜(a + 2)(a - 4)$，故D不正确。