《2025年高中必修课程复习与检测数学》

16. sinβ = -$\frac{1}{5}$，tanβ ＞ 0，则cosβ = ________.

答案： $-\frac{2\sqrt{6}}{5}$

17. 已知sin(45° + α) = $\frac{5}{13}$，则sin(225° + α) = ________.

答案： $-\frac{5}{13}$ 解析：$\sin(225^{\circ} + \alpha) = \sin[(45^{\circ} + \alpha) + 180^{\circ}] = - \sin(45^{\circ} + \alpha) = -\frac{5}{13}$。

18. 化简：cos($\frac{π}{3}$ + α) + sin($\frac{π}{6}$ + α) = ________.

答案： $\cos\alpha$ 解析：原式$ = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \cos\alpha$。

19. 设tanθ = 2，则tan(θ + $\frac{π}{4}$) = ________，$\frac{sinθ - cosθ}{sinθ + cosθ}$ = ________.

答案： $-3$ $\frac{1}{3}$ 解析：由$\tan\theta = 2$，得$\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\theta\tan\frac{\pi}{4}} = - 3$，$\frac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta + \cos\theta} = \frac{\tan\theta - 1}{\tan\theta + 1} = \frac{1}{3}$。

20. 化简：$\frac{sin(\frac{π}{2} + α)cos(\frac{π}{2} - α)}{cos(π + α)}$ + $\frac{sin(π - α)cos(\frac{π}{2} + α)}{sin(π + α)}$.

答案： 解：原式$ = \frac{\cos\alpha\sin\alpha}{-\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha( - \sin\alpha)}{-\sin\alpha} = - \sin\alpha + \sin\alpha = 0$。

21. 求y = sin²x - 3sinx + 3的值域.

答案： 解：$y = (\sin x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{3}{4}$，$-1\leqslant\sin x\leqslant1$，$\sin x - \frac{3}{2}\leqslant - \frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}\leqslant(\sin x - \frac{3}{2})^{2}\leqslant\frac{25}{4}$，$1\leqslant(\sin x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{3}{4}\leqslant7$，即值域为$[1,7]$。