《2025年高中必修课程复习与检测数学》

4. 已知$a$，$b$，$c$为不全相等的实数，$P = a^2 + b^2 + c^2 + 3$，$Q = 2(a + b + c)$，那么$P$与$Q$的大小关系是 （ ）
A. $P＞Q$
B. $P\geqslant Q$
C. $P＜Q$
D. $P\leqslant Q$

答案： A 解析：$\because P - Q=a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 - 2(a + b + c)=(a - 1)^{2}+(b - 1)^{2}+(c - 1)^{2}$，且$a$，$b$，$c$不全相等，$\therefore P - Q＞0$，$\therefore P＞Q$。

5. 如果$a＜0$，$b＞0$，那么下列不等式中正确的是 （ ）
A. $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
B. $\sqrt{-a}＜\sqrt{b}$
C. $a^2＜b^2$
D. $|a|＞|b|$

答案： A

6. 若$a＞b＞c$，则下列不等式成立的是 （ ）
A. $\frac{1}{a - c}＞\frac{1}{b - c}$
B. $\frac{1}{a - c}＜\frac{1}{b - c}$
C. $ac＞bc$
D. $ac＜bc$

答案： B 解析：$\because a＞b＞c$，$\therefore a - c＞b - c＞0$。
$\therefore \frac{1}{a - c}＜\frac{1}{b - c}$。

7. 如果$a$，$b$，$c$满足$c＜b＜a$，且$ac＜0$，那么下列选项中不一定成立的是 （ ）
A. $ab＞ac$
B. $c(b - a)＞0$
C. $cb^2＜ab^2$
D. $ac(c - a)＞0$

答案： C 解析：由题意知$c＜0$，$a＞0$，则A、B、D一定正确，若$b = 0$，则$cb^{2}=ab^{2}$。故选C。

8. 设$x$，$y$满足$x + y = 40$且$x$，$y$都是正整数，则$xy$的最大值是 （ ）
A. 400
B. 100
C. 40
D. 20

答案： A

9. 函数$y = x+\frac{1}{x}-2(x＜0)$，有 （ ）
A. 最大值为0
B. 最小值为0
C. 最大值为-4
D. 最小值为-4

答案： C 解析：$\because x＜0$，$\therefore y=-[(-x)+\frac{1}{(-x)}]-2\leqslant - 2 - 2=-4$，当且仅当$-x=\frac{1}{-x}$，即$x=-1$时取等号。