《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 如图9-7，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，E是AB上的一个动点，连接PE，过点P作PE的垂线，交BC于点F，连接EF，设EF的中点为G，当点E从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是______.

答案： √5
解析：以点B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立坐标系。设E(0,m)，P(1,2)。直线EP的斜率k=(2-m)/1=2-m，
∴PE的垂线PF的斜率为1/(m-2)。直线PF的方程：y-2=1/(m-2)(x-1)，令y=0，得x=5-2m，即F(5-2m,0)。G为EF中点，坐标为((5-2m)/2,m/2)。设G(x,y)，则x=(5-2m)/2，y=m/2，消去m得y=-1/2x+5/2。当E=B(m=0)时，G(5/2,0)；当E=A(m=2)时，G(1/2,1)。两点距离为√[(5/2-1/2)²+(0-1)²]=√(2²+(-1)²)=√5。