《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题2 如图4-6，在正方形$ ABCD $中，$ E $，$ F $分别是边$ BC $和$ DC $上的点，且$ \angle EAF=45^\circ $．试证明：
(1)$ EF=DF+BE $；
(2)$ \triangle CEF $的周长为正方形$ ABCD $周长的一半．

答案：
(1)将$ \triangle DAF $绕点$ A $顺时针旋转$ 90^\circ $得到$ \triangle BAF' $，则$ \triangle DAF \cong \triangle BAF' $，故$ DF=BF' $，$ AF=AF' $，$ \angle DAF=\angle BAF' $。
因为$ \angle EAF=45^\circ $，$ \angle DAB=90^\circ $，所以$ \angle DAF+\angle BAE=45^\circ $，则$ \angle BAF'+\angle BAE=\angle EAF'=45^\circ=\angle EAF $。
在$ \triangle EAF $和$ \triangle EAF' $中，$ AF=AF' $，$ \angle EAF=\angle EAF' $，$ AE=AE $，所以$ \triangle EAF \cong \triangle EAF' $（SAS），因此$ EF=EF'=BF'+BE=DF+BE $。
(2)$ \triangle CEF $的周长$ =CE+CF+EF $，由
(1)知$ EF=DF+BE $，则：
$CE+CF+EF=CE+CF+DF+BE=(CE+BE)+(CF+DF)=BC+CD$
正方形$ ABCD $周长为$ 4BC $（$ BC=CD $），故$ BC+CD=2BC=\frac{1}{2}×4BC $，即$ \triangle CEF $的周长为正方形$ ABCD $周长的一半。