《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例1 如图10-20，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的一个动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为 ______．

答案： $\sqrt{2} + 1$
设A(a,-a)，B(b,0)，AB=2。由距离公式得$(a - b)^2 + a^2 = 4，$即2a² - 2ab + b² = 4。面积$S = \frac{1}{2}$|ab|，令t=ab，利用几何法，∠AOB=135°时外接圆半径$R = \frac{AB}{2\sin135°} = \sqrt{2}。$当O，圆心，AB中点共线时，OA·OB最大，$S = \frac{1}{2}OA·OB·\sin135°，$解得最大值为$\sqrt{2} + 1。$