《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题4 “将军过桥”问题．如图2-7，直线$l_1// l_2$，$l_1$与$l_2$之间的距离为6，点A到直线$l_1$的距离为2，点B到直线$l_2$的距离为4，A，B两点之间的水平距离为10，M，N分别为直线$l_1$，$l_2$上的动点，且$MN\perp l_1$，求AM+MN+BN的最小值．

答案： $6+2\sqrt{34}$
解析：因为MN⊥l₁且l₁//l₂，所以MN=6（定值）。将点A沿垂直于l₁的方向平移6个单位得到A'，则AA'=MN=6，且A'M=AM。此时AM+MN+BN=A'N+BN+6，当A'、N、B三点共线时，A'N+BN最小。
由题意，A到l₁距离2，平移后A'到l₂距离为2+6-6=2；B到l₂距离4，A、B水平距离10，故A'与B的水平距离10，垂直距离4-2=2。则$A'B=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}（$此处按原文解析修正垂直距离计算）。因此AM+MN+BN的最小值为$6+2\sqrt{34}。$