《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例2 如图8-10,已知扇形COD,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是$\widehat{CD}$上一点,求2PA+PB的最小值.

答案： 13
延长OC到点E，使CE=6，OE=OC+CE=12。
连接PE,OP，$\frac{OA}{OP}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{OP}{OE}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，则$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OE}$。
又∠AOP=∠AOP，故△OAP∽△OPE，$\frac{AP}{EP}=\frac{1}{2}$，即EP=2PA。
2PA+PB=EP+PB，当E,P,B三点共线时取最小值，BE=$\sqrt{OB^2 + OE^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=13$。