《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

问题3 如图4-9、图4-10，已知在$ Rt\triangle ABC $中，$ AB=AC $，点$ E $，$ D $在边$ BC $所在的直线上，且$ \angle DAE=45^\circ $，求证$ BD^2 + CE^2 = DE^2 $．

答案： 将$ \triangle ACE $绕点$ A $顺时针旋转$ 90^\circ $得到$ \triangle ABD' $，则$ \triangle ACE \cong \triangle ABD' $，故$ CE=BD' $，$ AE=AD' $，$ \angle CAE=\angle BAD' $，$ \angle ACE=\angle ABD' $。
因为$ AB=AC $，$ \angle BAC=90^\circ $，所以$ \angle ABC=\angle ACB=45^\circ $，则$ \angle ABD'=\angle ACE=135^\circ $，故$ \angle D'BD=180^\circ $，即$ D' $、$ B $、$ D $共线。
因为$ \angle DAE=45^\circ $，所以$ \angle BAD+\angle CAE=45^\circ $，则$ \angle BAD+\angle BAD'=\angle D'AD=45^\circ=\angle DAE $。
在$ \triangle D'AD $和$ \triangle EAD $中，$ AD=AD $，$ \angle D'AD=\angle EAD $，$ AD'=AE $，所以$ \triangle D'AD \cong \triangle EAD $（SAS），故$ D'D=DE $。
因为$ \angle D'BD=90^\circ $，所以$ D'B^2 + BD^2 = D'D^2 $，即$ CE^2 + BD^2 = DE^2 $。

问题4 如图4-13，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，求证：
(1)CD=CE；
(2)OD+OE=√2 OC；
(3)S△OCD + S△OCE = 1/2 OC²．

答案：
(1)过点C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N。
∵OC平分∠AOB，
∴CM=CN，∠MCN=360°-∠CMO-∠CNO-∠AOB=90°=∠DCE，
∴∠MCD=∠MCN - ∠DCN=∠DCE - ∠DCN=∠NCE。
在△MCD和△NCE中，∠CMD=∠CNE=90°，CM=CN，∠MCD=∠NCE，
∴△MCD≌△NCE(ASA)，
∴CD=CE。
(2)由
(1)知MD=NE，OC平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠COM=45°，
∴OM=OC·cos45°=√2/2 OC，四边形MONC为正方形，
∴OM=ON。
OD+OE=(OM - MD)+(ON + NE)=OM + ON=2×√2/2 OC=√2 OC。
(3)S△OCD + S△OCE=S△OCM + S△OCN=S正方形MONC=OM²=(√2/2 OC)²=1/2 OC²。