《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例2 在平面直角坐标系$xOy$中，$\odot O$的半径为1，$A$，$B$为$\odot O$外两点，$AB=1$．
给出如下定义：平移线段$AB$，得到$\odot O$的弦$A'B'$（$A'$，$B'$分别为点$A$，$B$的对应点），线段$AA'$长度的最小值称为线段$AB$到$\odot O$的“平移距离”．
(1)如图11-6，平移线段$AB$到$\odot O$的长度为1的弦$R_{2}P_{2}$和$P_{3}P_{4}$，则这两条弦的位置关系是______；在点$R_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，$P_{4}$中，连接点$A$与点______的线段的长度等于线段$AB$到$\odot O$的“平移距离”；
(2)若点$A$，$B$都在直线$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$上，记线段$AB$到$\odot O$的“平移距离”为$d_{1}$，求$d_{1}$的最小值；
(3)若点$A$的坐标为$(2,\frac{3}{2})$，记线段$AB$到$\odot O$的“平移距离”为$d_{2}$，直接写出$d_{2}$的取值范围．

答案：
(1)$R_{2}P_{2}// P_{3}P_{4}$，$P_{3}$
解析：平移不改变线段方向，故两弦平行；线段$AA'$长度最小值为“平移距离”，对应点$P_{3}$。
(2)$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：直线$y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$化为$\sqrt{3}x - y + 2\sqrt{3}=0$，$O$到直线距离$d=\frac{|0 - 0 + 2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{3}$。弦$A'B'$长1，弦心距为$\sqrt{1^{2}-(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$d_{1}$最小值为$\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(3)$\frac{3}{2}\leq d_{2}\leq\frac{\sqrt{39}}{2}$
解析：$OA=\sqrt{2^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{5}{2}$，$A'$在$\odot O$上，$AA'$最小值为$OA - 1=\frac{3}{2}$；最大值时，由勾股定理得$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+3^{2}}=\frac{\sqrt{39}}{2}$，故范围为$\frac{3}{2}\leq d_{2}\leq\frac{\sqrt{39}}{2}$。