《2025年数学思考之旅九年级下册人教版》

例2 游山玩水是人们喜爱的一项户外运动，但过度的旅游开发会对环境及动植物的多样性产生影响．如图5-12，Rt△ABC所在区域是某地著名的“黄花岭”风景区范围示意图，点B位置是国家珍稀动植物核心保护区，其中∠ACB=90°，BC=6km，AC=8km，该地旅游部门为科学合理开发此风景区旅游资源，计划在景区外围D点建一个“岭南山庄”度假村．据实际情况，规划局要求：四边形ABCD是一个“等对角四边形”（∠BCD≠∠BAD），核心区B与山庄D之间要尽可能远，并且四边形ABCD区域的面积要控制在56km²以内．请问BD是否存在最大值，规划局的要求能否实现？如果能，请求出BD的最大值及此时四边形ABCD的面积；如果不能，请说明理由．

答案： 存在，BD最大值为$\sqrt{97}+5$km，此时四边形ABCD面积为$\frac{3492+180\sqrt{97}}{97}$km²。
在Rt△ABC中，AB=10，S△ABC=24。
设O为△ACD外心，∠ABC=∠ADC，
∴∠AOC=2∠ABC，
作ON⊥AC于N，△AON∽△ABC，$\frac{ON}{6}=\frac{4}{8}$，ON=3，
OA=OC=OD=5，作OT⊥BC延长线于T，OT=4，BT=9，OB=$\sqrt{97}$，
BD≤OB+OD，最大值为$\sqrt{97}+5$。
此时S△ADC=$\frac{1164+180\sqrt{97}}{97}$，
S四边形ABCD=24+$\frac{1164+180\sqrt{97}}{97}=\frac{3492+180\sqrt{97}}{97}$≤56。